Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

A134
Answers to Odd-Numbered Exercises
Soluciones de los ejercicios impares A-41
Sección 13.6 (página 942)
1. 1 3. 1 5. e 7. 9. 2 3 3 11.
e x yi j ; 26
13. 2 x y 15. 2 3 2 cos 2x y 17. 6
19. 8 5 21. 3i 10j 23. 4i j 25. 6i 10j 8k
27. 3 2 29. 2 5 5 31. 2 x y i xj ; 2 2
33. tan yi x sec 2 yj, 17 35.
37.
xi yj zk
39. yz yzi 2xzj 2xyk ;
x 2 y 2 z 2, 1 33
41.
z
x
9
x
3
(3, 2, 1)
6
3
y
43. a) 5 2 12 b) 5 c) 5 d) 11 10 60
45. 13 6
47. a) Las respuestas varían. Ejemplo: 4i j
b)
2 1 2 1
5 i 10 j c) 5 i 10 j
En dirección opuesta al gradiente
49. a)
z
7
25
1
8
3
57. a) 6i 4j b) 13 13 3i 2j c)
d)
y
59. La derivada direccional de z f x, y en la dirección de
u cos i sen j es
D u f x, y
t
si el límite existe.
61. Ver la definición en la página 936. Ver las propiedades en la página
937.
63. El vector gradiente es normal a las curvas de nivel.
1
625
−3 −2 −1
65. 7i 24j
67. 69.
1671
3
2
1
−2
−3
f x t cos , y t sen f x, y
lím
t→0
B
1
1994
2
3
x
1800
y 2
y
10x
3
2 x 1
2
b)
D u f 4, 3 8 cos 6 sen
D u
f
12
y
71. a)
A
500
z
1800
8
4
−4
π
2π
θ
−8
−12
Generada con Mathematica
c) 2.21, 5.36 f )
Direcciones en las cuales
no hay cambio en f
d) 0.64, 3.79
Direcciones de mayor tasa
de cambio en f
e) 10; magnitud de la mayor
razón de cambio
Ortogonal a la curva de nivel
51. 2i 3j 53. 3i j
55. a) 16i j b) 257 257 16i j c) y 16x 22
d)
y
−6
6
4
2
y
−4 2 4 6
−2
−4
−6
Generada con Mathematica
x
x 6
6 y
b) El calor no cambia en las direcciones perpendiculares al gradiente:
± i 6j .
c) El aumento es mayor en la dirección del gradiente:
1
3i 2 j.
73. Verdadero 75. Verdadero
77. f x, y, z e x cos y 1 2 z 2 C
79. a) Demostración b) Demostración
c)
z
3
−2
−1
2 y
2
x
−15 −10 −5
−5
−10
5
10
15
x
Sección 13.7 (página 951)
1. La superficie de nivel se puede escribir como 3x 5y 3z 15,
que es la ecuación de un plano en el espacio.
3. La superficie de nivel se puede escribir como 4x 2 9y 2 4z 2 0,
que es la ecuación de un cono elíptico en el espacio que se encuentra
en el eje z.