Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 745
NOTA Cuando se aplica la fórmula
de la longitud de arco a una curva
polar, es necesario asegurarse de que la
curva esté trazada (se recorra) sólo una
vez en el intervalo de integración. Por
ejemplo, la rosa dada por r cos 3
está trazada (se recorre) una sola vez
en el intervalo 0 ≤ ≤ , pero está
trazada (se recorre) dos veces en el
intervalo 0 ≤ ≤ 2.
■
Longitud de arco en forma polar
La fórmula para la longitud de un arco en coordenadas polares se obtiene a partir de la fórmula
para la longitud de arco de una curva descrita mediante ecuaciones paramétricas.
(Ver el ejercicio 89.)
TEOREMA 10.14
LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA POLAR
Sea f una función cuya derivada es continua en un intervalo ≤ ≤ . La longitud
de la gráfica de r f, desde hasta es
s f 2 f 2 d
d 2 d.
r2
dr
EJEMPLO 4
Encontrar la longitud de una curva polar
r = 2 − 2 cos θ
π
2
Encontrar la longitud del arco que va de a en la cardioide
r f 2 2 cos
que se muestra en la figura 10.56.
0
2
Figura 10.56
1
0
Solución Como f 2sen
sin , se puede encontrar la longitud de arco de la siguiente
manera.
s
0
22
1 cos
0
22 2 sen sin2 2
0 2 d
4 sen sin
2 d
8 cos
81 1
16
2
0
f 2 f 2 d
2 2 cos 2 2 sin sen 2 d
2
2
2
2 2
0
d
Fórmula para la longitud de arco
de una curva polar.
Simplificación.
Identidad trigonométrica.
sen sin para 0 ≤ ≤ 2.
2 ≥ 0
En el quinto paso de la solución, es legítimo escribir
2 sen sin 2 2 2 sen sin2 (2)
en lugar de
2sen sin 2
2 2 sen sin2
(2)
porque sen sin2 ≥ 0 para 0 ≤
≤ 2.
NOTA Empleando la figura 10.56 se puede ver que esta respuesta es razonable mediante comparación
con la circunferencia de un círculo. Por ejemplo, un círculo con radio 2 tiene una circunfe-
5
rencia de
■
5 15.7.