Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.1 Vectores en el plano 771
y
N
En levantamientos topográficos y en la navegación, un rumbo es una dirección que
mide el ángulo agudo que una trayectoria o línea de mira forma con una recta fija nortesur.
En la navegación aérea, los rumbos se miden en el sentido de las manecillas del reloj
en grados desde el norte.
v 1
a) Dirección sin viento
W
120°
S
E
x
EJEMPLO 8
Hallar una velocidad
Un avión viaja a una altitud fija con un factor de viento despreciable, y mantiene una
velocidad de 500 millas por hora con un rumbo de 330°, como se muestra en la figura
11.13a. Cuando alcanza cierto punto, el avión encuentra un viento con una velocidad de
70 millas por hora en dirección 45° NE (45° este del norte), como se muestra en la figura
11.13b. ¿Cuáles son la velocidad y la dirección resultantes del avión?
Solución
Usando la figura 11.13a, representar la velocidad del avión (solo) como
v 1 500 cos120i 500 sen sin120j.
y
La velocidad del viento se representa por el vector
v 2
Viento
v 1
v
W
θ
N
S
E
v 2 70 cos45i 70 sen sin45j.
La velocidad resultante del avión (en el viento) es
v v 1 v 2
500 cos120i 500 sen sin120j 70 cos45i 70 sen sin45j
200.5i 482.5j.
Para encontrar la velocidad y la dirección resultantes, escribir v v cos i sen sin j.
Como v 200.5 2 482.5 2 522.5, se puede escribir
b) Dirección con viento
Figura 11.13
x
v 522.5
200.5
522.5 i 482.5
522.5 j
522.5, cos112.6i sen
sin112.6j.
La nueva velocidad del avión, alterada por el viento, es aproximadamente 522.5 millas por hora
en una trayectoria que forma un ángulo de 112.6° con el eje x positivo.
11.1 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4, a) dar el vector v mediante sus componentes
y b) dibujar el vector con su punto inicial en el origen.
En los ejercicios 5 a 8, hallar los vectores u y v cuyos puntos inicial
y final se dan. Mostrar que u y v son equivalentes.
1. y
2.
(5, 4)
4
3
v
2 (1, 2)
1
x
1 2 3 4 5
−1
3. y
4.
2
x
−4 −2 2 4
v
(−4, −3) (2, −3)
−6
y
4 (3, 4)
3
2
v
1
x
−1 1 2 4 5 6
−2 (3, −2)
y
4
(−1, 3)
v
2
(2, 1)
1
x
−2 −1 1 2
5. u: 3, 2 , 5, 6
6. u:
v:
7. u: 0, 3 , 6, 2
8. u:
v:
1, 4 , 3, 8
3, 10 , 9, 5
10, 13 , 25, 10
En los ejercicios 9 a 16, se dan los puntos inicial y final de un vector
v. a) Dibujar el segmento de recta dirigido dado, b) expresar
el vector mediante sus componentes, c) expresar el vector como
la combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j y d)
dibujar el vector con el punto inicial en el origen.
Punto Punto Punto Punto
inicial final inicial final
9. 2, 0 5, 5 10.
v:
v:
4, 6
4, 0 , 1, 8
2, 1 , 7, 7
4, 1 , 11, 4
3, 6
11. 8, 3 6, 1 12. 0, 4 5, 1