Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.1 Vectores en el plano 765
4
3
2
1
(0, 0)
P
y
v
(v 1 , v 2 )
Q
v = 〈v 1 , v 2 〉
1 2 3 4
Posición estándar de un vector
Figura 11.4
x
El segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen a menudo se considera
el representante más adecuado de un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes
como los que se muestran en la figura 11.3. Se dice que esta representación de v está en la
posición canónica o estándar. Un segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen
puede representarse de manera única por medio de las coordenadas de su punto final
Qv 1 , v 2 , como se muestra en la figura 11.4.
DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO MEDIANTE SUS COMPONENTES
Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es
v 1 , v 2 , entonces el vector v queda dado mediante sus componentes de la siguiente
manera
v v 1 , v 2 .
Las coordenadas v 1 y v 2 son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto
final están en el origen, entonces v es el vector cero (o vector nulo) y se denota por
0 0, 0.
Esta definición implica que dos vectores u u 1 , u 2 y v v 1 , v 2 son iguales si y sólo
si u 1 v 1 y u 2 v 2 .
Los procedimientos siguientes pueden usarse para convertir un vector dado mediante
un segmento de recta dirigido en un vector dado mediante sus componentes o viceversa.
1. Si Pp 1 , p 2 y Qq 1 , q 2 son los puntos inicial y final de un segmento de recta dirigido,
el vector v representado por , dado mediante sus componentes, es v 1 , v 2
PQ\
q 1 p 1 , q 2 p 2 . Además, de la fórmula de la distancia es posible ver que la longitud
(o magnitud) de v es
v q 1 p 1 2 q 2 p 2 2
v 12 v 22 .
Longitud de un vector.
2. Si v v 1 , v 2 , v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posición
canónica o estándar, que va de P0, 0 a Qv 1 , v 2 .
A la longitud de v también se le llama la norma de v. Si v 1, v es un vector unitario.
Y v 0 si y sólo si v es el vector cero 0.
Q (−2, 5)
6
4
y
EJEMPLO 2
Hallar las componentes y la longitud de un vector
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene el punto inicial (3, 7) y el
punto final (2, 5).
−6 −4 −2 2 4 6
−2
v
−4
−6
−8
P (3, −7)
Vector v dado por medio de sus componentes:
v 5, 12
Figura 11.5
x
Solución Sean P3, 7 p 1 , p 2 y Q2, 5 q 1 , q 2 . Entonces las componentes
de v v 1 , v 2 son
v 1 q 1 p 1 2 3 5
v 2 q 2 p 2 5 7 12.
Así, como se muestra en la figura 11.5, v 5, 12, y la longitud de v es
v 5 2 12 2
169
13.