Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

980 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
Review Exercises 979
y
Redacción En los ejercicios 69 y 70, redactar un párrafo breve
sobre la superficie cuyas curvas de nivel (los valores de c espaciados
uniformemente) se muestran. Hacer un comentario acerca de
In Exercises 41– 44, find the indicated derivatives (a) using
the appropriate Chain Rule and (b) using substitution before
los posibles extremos, puntos silla, la magnitud del gradiente,
differentiating.
etcétera.
69. 41. w ln x 2 y
y ,
dw
dt
70.
y
x 2t, y 4 t
42. u y 2 x,
du
dt x
x
x cos t, sen t
43. w
xy w
r , w
z , t
x 2r t, y rt, z 2r t
71. Ganancia o beneficio umáximo Una corporación fabrica, en
44. dos lugares, cámaras digitales.
r , u
u x 2 y 2 z 2 ,
t
Las funciones de costo para producir
x 1 unidades en el lugar 1 y x 2 unidades en el lugar 2 son
x r cos t, y r sen t, z t
C 1 0.05x 12 15x 1 5400
In
C
Exercises
2 0.03x
45
22
and
15x
46,
2
differentiate
61006 implicitly to find the first
partial derivatives of z.
y la función del ingreso total es
45. x 2 xy y 2 yz z 2 0
R 225 0.4x 1 x 2 x 1 x 2 .
46. xz 2 y sen z 0
In Exercises 47–50, find the directional derivative of the function
at PHallar in the los direction niveles of de v. producción en los dos lugares que maximizan
el beneficio Px 1 , x 2 R C 1 C 2 .
49. lugares. w y 2 Sean xz, x 1 y 1, x2, 2 los 2 , números v 2i de junidades 2k producidos en
72.
47.
Costo
f x, y
mínimo
x 2 y,
Un
5,
fabricante
5 , v 3i
recibe
4j
una orden para 1 000
1
48. unidades f x, y de 4 ybancos 2 x 2 , de 1, madera 4 , vque 2i pueden j producirse en dos
cada uno de los dos lugares. La función del costo es
50. w 5x 2 2xy 3y 2 z, 1, 0, 1 , v i j k
C 0.25x 12 10x 1 0.15x 22 12x 2 .
In Exercises 51–54, find the gradient of the function and the
maximum Hallar la value cantidad of the que directional debe producirse derivative en cada at the lugar given para point. satisfacer
la orden y minimizar el costo.
73. 51. Nivel z xde 2 y, producción 2, 1 La función de 52. producción z e x cos de y, un fabricante
de dulces es
0, 4
x
53. f y
x, y 4x xy 2y
54. z
x x y , 2, 1
y , 1, 1 2
donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número de
In Exercises 55 and 56, (a) find the gradient of the function at P,
unidades de capital. Suponer que la cantidad total disponible
(b) find a unit normal vector to the level curve f x, y c at P,
para trabajo y capital es $2 000, y que las unidades de trabajo y
(c) find the tangent line to the level curve f x, y c at P, and
capital cuestan $20 y $4, respectivamente. Hallar el nivel de producción
máximo de este fabricante.
(d) sketch the level curve, the unit normal vector, and the
tangent line in the xy-plane.
74. Hallar la distancia mínima del punto (2, 2, 0) a la superficie
55. zfx, xy 2 y9x 2 .
2 4y 2
56. fx, y 4y sen x y
75. Modelo matemático La tabla muestra la fuerza de fricción y en
c 65, P 3, 2
c 3, P , 1
kilogramos de un vehículo de motor a las velocidades 2 x, en
kilómetros por hora, indicadas.
In Exercises 57–60, find an equation of the tangent plane and
parametric Velocidad, equations x of the normal 25 50 line to 75the surface 100 at 125 the
given point.
Fuerza de fricción, y 24 34 50 71 98
Surface
Point
a) Utilizar el programa de regresión de una herramienta de
57.
58.
f x, graficación y x 2 y para hallar un modelo cuadrático 2, 1, 4 de regresión
f x, por y mínimos 25 cuadrados y 2 para los datos. 2, 3, 4
59. b) z Utilizar 9 el 4x modelo 6ypara x 2 estimar y 2 la fuerza 2, total 3, de 4fricción cuando
60. el
z 9
vehículo
x 2 está
y 2 en movimiento a 80 kilómetros
1, 2, 2
por hora.
CAS
76. Modelo matemático Los datos en la tabla muestran el rendimiento
y (en miligramos) en una reacción química después de
In Exercises 61 and 62, find symmetric equations of the tangent
t minutos.
line to the curve of intersection of the surfaces at the given
point. Minutos, t 1 2 3 4
Superficies Rendimiento, y 1.2 Punto7.1 9.9 13.1
61. z 9 y 2 , y x 2, 2, 5
62. z x 2 Minutos, y 2 , z t3
52, 1, 36 7 8
63. Find the
Rendimiento,
angle of inclination
y 15.5 16.0
of the
17.9
tangent
18.0
plane to the
surface x
a) Utilizar 2 y
el programa 2 z 2 14 at the point 2, 1, 3 .
de regresión de una herramienta de
64. Approximation graficación para Consider hallar the la recta following de regresión approximations de mínimos for a
function cuadrados f x, ypara centered los datos. 0, Después 0 . utilizar la herramienta de
Linear graficación approximation: para representar los datos y el modelo.
b)
P
Utilizar una herramienta de graficación para trazar los puntos
ln t, y. ¿Parecen x 0, 0 x f
1 x, y f 0, 0 f
seguir estos y 0, 0 y
puntos un modelo lineal
Quadratic con más approximation:
exactitud que los datos dados en el inciso a)?
c) P 2
Utilizar x, y el f programa 0, 0 f x
de 0, regresión 0 x f y
de 0, 0una y herramienta de graficación
para 1 hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados
2 f
para los puntos xx 0, 0 x
ln 2 1
f
t, y xy 0, 0 xy 2 f
y obtener el yy 0, 0 y
modelo 2
logarítmico
[Note y that a the b ln linear t. approximation is the tangent plane to the
d) surface Utilizar at una 0, 0, herramienta f 0, 0 . de graficación para representar los
(a) datos Find y the los linear modelos approximation lineal y logarítmico. of fx, y ¿Qué cosmodelo x senes
y
mejor? centered Explicar. at 0, 0 .
En los (b) ejercicios Find the quadratic 77 y 78, approximation utilizar multiplicadores of fx, y de cosLagrange
x sen y
para localizar centered y clasificar at 0, 0 . todos los extremos de la función.
77. w(c) If
xyy yz 0 in xz the quadratic approximation, you obtain the
second-degree Taylor polynomial for what function?
Restricción: x y z 1
(d) Complete the table.
78. z x 2 y
Restricción:
x
x
y
2y
fx,
2
y P 1 x, y P 2 x, y
79. Costo mínimo Se va a construir un conducto para agua que va
0 0
del punto P al punto S y que debe atravesar por regiones donde
los costos 0 de 0.1 construcción difieren (ver la figura). El costo por
kilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S.
Para simplificar, 0.2 0.1 sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrange
para localizar x, y y z tales que el costo total C se minimice.
0.5 0.3
1 0.5
P
2 km
Q
SAC (e) Use a computer algebra system to graph the surfaces
z
1 km
fx, y , z P and R
How S
1 x, y , z P 2 x, y . does the
accuracy of the approximations x y change as z the distance from
0, 0 increases?
10 km
80. In Exercises Investigación 65–68, Considerar examine the la función function objetivo for relative ƒ(x, y) extrema ax
and by saddle sujeta points. a la restricción Use a computer x 2 64 algebra y 2 36 system 1. Suponer to graph que xthe
y y
function son positivas. and confirm your results.
65.
a)
fx,
Utilizar
y 2x
un 2 sistema
6xy
algebraico
9y 2 8x
por
14
computadora y representar
gráficamente la restricción o ligadura. Si a 4 y b 3, utilizar
66. fx, y
el
x 2 sistema
3xy
algebraico
y 2 5x
por computadora y representar
gráficamente 1 las 1curvas de nivel de la función objetivo.
67. fx, y xy
Mediante ensayo x y
error, hallar la curva de nivel que parece
68. z ser 50tangente x y a la 0.1x elipse. 3 Utilizar 20x 150 el resultado para aproximar
el máximo de f sujeto a la restricción o ligadura.
0.05y 3 20.6y 125
b) Repetir el inciso a) con a 4 y b 9.