Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1112 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
15.6
Integrales de superficie
■ Evaluar una integral de superficie como una integral doble.
■ Evaluar integrales de superficie sobre superficies paramétricas.
■ Determinar la orientación de una superficie.
■ Comprender el concepto de integral de flujo.
S: z = g(x, y)
(x i
, y i
, z i
)
z
Integrales de superficie
El resto de este capítulo se ocupa principalmente de integrales de superficie. Primero se
considerarán superficies dadas por z gx, y. Más adelante, en esta sección, se considerarán
superficies más generales dadas en forma paramétrica.
Sea S una superficie dada por z gx, y y sea R su proyección sobre el plano xy,
como se muestra en la figura 15.44. Supóngase que g, g x
y g y
son continuas en todos los
puntos de R y que ƒ está definida en S. Empleando el procedimiento usado para hallar el
área de una superficie en la sección 14.5, se evalúa ƒ en (x i
, y i
, z i
) y se forma la suma
n
fx i , y i , z i S i
i1
x
(x i
, y i
)
R
La función escalar f asigna un número a
cada punto de S
Figura 15.44
y
donde S i 1 g x x i , y i 2 g y x i , y i 2 A i . Siempre que el límite de la suma
anterior cuando tiende a 0 exista, la integral de superficie de ƒ sobre S se define
como
S fx, y, z dS lím lim
→0 n
fx i , y i , z i S i .
i1
Esta integral se puede evaluar mediante una integral doble.
TEOREMA 15.10
EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE
Sea S una superficie cuya ecuación es z gx, y y sea R su proyección sobre el
plano xy. Si g, g x
y g y
son continuas en R y ƒ es continua en S, entonces la integral
de superficie de ƒ sobre S es
S fx, y, z dS R fx, y, gx, y1 g x x, y 2 g y x, y 2 dA.
Para superficies descritas por funciones de x y z (o de y y z), al teorema 15.10 se le
pueden hacer los ajustes siguientes. Si S es la gráfica de y gx, z y R es su proyección
sobre el plano xz, entonces,
S fx, y, z dS R fx, gx, z, z1 g x x, z 2 g z x, z 2 dA.
Si S es la gráfica de x g y, z y R es su proyección sobre el plano yz, entonces
S fx, y, z dS R fg y, z, y, z1 g y y, z 2 g z y, z 2 dA.
Si fx, y, z 1, la integral de superficie sobre S da el área de la superficie de S. Por ejemplo,
supóngase que la superficie S es el plano dado por z x, donde 0 ≤ x ≤ 1 y
0 ≤ y ≤ 1. El área de la superficie de S es 2 unidades cuadradas. Trátese de verificar
que S f x, y, z dS 2.