Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

890 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
EJEMPLO 3
Dibujo de un mapa de contorno
El hemisferio dado por f x, y 64 x 2 y 2 se muestra en la figura 13.9. Dibujar un
mapa de contorno de esta superficie utilizando curvas de nivel que correspondan a
c 0, 1, 2, . . . , 8.
Solución Para cada c, la ecuación dada por f x, y c es un círculo (o un punto) en el
plano xy. Por ejemplo, para c 1 0, la curva de nivel es
x 2 y 2 64
Círculo de radio 8.
la cual es un círculo de radio 8. La figura 13.10 muestra las nueve curvas de nivel del hemisferio.
Superficie:
f(x, y) = 64 − x 2 − y 2
z
c 1 = 0
y
c 5 = 4
c 2 = 1
8
c 6 = 5
c 3 = 2
c 7 = 6
c 4 = 3 c 8 = 7
4
z
12
10
8
−8
−4
c 9 = 8
4
8
x
8
6
−4
x
4
4
2
4
y
x
8
Hemisferio
Figura 13.9
8
y
Mapa de contorno
Figura 13.10
−8
EJEMPLO 4
Dibujo de un mapa de contorno
Paraboloide hiperbólico
Figura 13.11
Superficie:
z = y 2 − x 2
El paraboloide hiperbólico dado por
z y 2 x 2
se muestra en la figura 13.11. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie.
c = 2
c = 12
y
4
c = 0
c = −2
c = −4
c = −6
c = −8
c = −10
c = −12
Solución Para cada valor de c, sea f x, y c y dibújese la curva de nivel resultante en
el plano xy. Para esta función, cada una de las curvas de nivel c 0 es una hipérbola
cuyas asíntotas son las rectas y ±x. Si c < 0, el eje transversal es horizontal. Por ejemplo,
la curva de nivel para c 4 está dada por
x 2
Hipérbola con eje transversal horizontal.
2 y2
2 2 1. 2
−4
−4
Curvas de nivel hiperbólicas
(con incrementos de 2)
Figura 13.12
4
x
Si c > 0, el eje transversal es vertical. Por ejemplo, la curva de nivel para c 4 está dada
por
y 2
Hipérbola con eje transversal vertical.
2 x2
2 2 1. 2
Si c 0, la curva de nivel es la cónica degenerada representada por las asíntotas que se
cortan, como se muestra en la figura 13.12.