Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.1 Integrales iteradas y área en el plano 987
Si los cuatro límites de integración son constantes, la región de integración es rectangular,
como ocurre en el ejemplo 3.
EJEMPLO 3
Área de una región rectangular
y
Utilizar una integral iterada para representar el área del rectángulo que se muestra en la
figura 14.4.
d
d − c
c
Figura 14.4
Región rectangular
R
a
b − a
b
x
Solución La región de la figura 14.4 es verticalmente simple y horizontalmente simple,
por tanto se puede emplear cualquier orden de integración. Eligiendo el orden dy dx, se
obtiene lo siguiente.
b d
b d
dy dx y dx
Integrar con respecto a y.
ac
a
a
b
c
d c dx
d cx
b
a
Integrar con respecto a x.
d cb a
Nótese que esta respuesta es consistente con los conocimientos de la geometría.
EJEMPLO 4
Hallar el área por medio de una integral iterada
−1
y
π
4
Área =
Figura 14.5
R:
π 5π
4
≤ x ≤
4
cos x ≤ y ≤ sen x
π
2
Δx
5π /4
π /4
sen x
cos x
π
dy dx
y = cos x
y = sen x
3π
2
x
Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región limitada o acotada por las gráficas
de
fx sen sin x
gx cos x
between entre x 4 y x 54.
La curva seno constituye el límite o cota superior.
La curva coseno constituye el límite o cota inferior.
Solución Como ƒ y g se dan como funciones de x, es conveniente un rectángulo representativo
vertical, y se puede elegir dy dx como orden de integración, como se muestra en
la figura 14.5. Los límites exteriores de integración son 4 x 54. Dado que el rectángulo
está limitado o acotado, superiormente por ƒ(x) sen x e inferiormente por
gx cos x, se tiene
54
Área Area de of R
54
4
54
4
cos x sin x
54
22.
sin sen x
cos x
sen sin x
y dx
cos x
dy dx
sin sen x cos x dx
sen x
4
Integrar con respecto a y.
Integrar con respecto a x.
NOTA La región de integración en una integral iterada no necesariamente debe estar acotada por
rectas. Por ejemplo, la región de integración que se muestra en la figura 14.5 es verticalmente simple
aun cuando no tiene rectas verticales como fronteras izquierda y derecha. Lo que hace que la
región sea verticalmente simple es que está limitada o acotada superiormente e inferiormente por
gráficas de funciones de x.
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