Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1020 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
14.5 Área de una superficie
■
Utilizar una integral doble para hallar el área de una superficie.
x
Superficie:
z = f(x, y)
Figura 14.43
Superficie:
z = f (x, y)
z
z
y
Región R en el plano xy
∆T i
∆S i ≈ ∆T i
Área de una superficie
En este punto ya se tiene una gran cantidad de conocimientos acerca de la región sólida
que se encuentra entre una superficie y una región R en el plano xy cerrada y limitada o
acotada, como se muestra en la figura 14.43. Por ejemplo, se sabe cómo hallar los
extremos de ƒ en R (sección 13.8), el área de la base R del sólido (sección 14.1), el volumen
del sólido (sección 14.2) y el centroide de la base de R (sección 14.4).
En esta sección se verá cómo hallar el área de la superficie superior del sólido. Más
adelante se aprenderá a calcular el centroide del sólido (sección 14.6) y el área de la superficie
lateral (sección 15.2).
Para empezar, considerar una superficie S dada por
z fx, y
Superficie definida sobre una región R.
definida sobre una región R. Suponer que R es cerrada y acotada y que ƒ tiene primeras
derivadas parciales continuas. Para hallar el área de la superficie, se construye una partición
interna de R que consiste en n rectángulos donde el área del rectángulo i-ésimo R i es
A i x i y i , como se muestra en la figura 14.44. En cada R i sea x i , y i el punto más
próximo al origen. En el punto x i , y i , z i x i , y i , fx i , y i de la superficie S, se construye
un plano tangente T i . El área de la porción del plano tangente que se encuentra directamente
sobre R i es aproximadamente igual al área de la superficie que se encuentra directamente
sobre R i . Es decir, T i S i . Por tanto, el área de la superficie de S está dada por
R
n
S i n
T i .
i1 i1
x
y
Para hallar el área del paralelogramo T i , notar que sus lados están dados por los vectores
u x i i f x x i , y i x i k
Figura 14.44
∆A i
y
v y i j f y x i , y i y i k.
De acuerdo con el teorema 11.8, el área de está dada por donde
i j k
u v x i 0 f x x i , y i x
i
T i
u v,
i
0 y i f y x i , y i y
f x x i , y i x i y i i f y x i , y i x i y i j x i y i k
f x x i , y i i f y x i , y i j k A i .
Por tanto, el área de T es u v f x x i , y i 2 f y x i , y i 2 i
1 A i , y
El área de Surface la superficie area of de S n
i1
n
1 f x x i , y i 2 f y x i , y i 2 A i .
i1
S i
Esto sugiere la definición siguiente de área de una superficie.