Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

874 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
El teorema siguiente presenta una fórmula para calcular la curvatura de una curva
plana dada por y fx.
TEOREMA 12.9
CURVATURA EN COORDENADAS RECTANGULARES
Si C es la gráfica de una función dos veces derivable y fx, entonces la curvatura
K en el punto x, y está dada por
K
y
1 y 2 32.
DEMOSTRACIÓN Si se representa la curva C por rx xi fxj 0k (donde x es el
parámetro), se obtiene rx i fxj,
rx 1 fx 2
r = radio de
curvatura
P
y
K = 1 r
y rx f xj. Como rx rx fxk, se sigue que la curvatura es
K rx rx
rx 3
fx
1
y
fx 2 32
1 y 2 32.
r
Centro de
curvatura
El círculo de curvatura
Figura 12.36
C
x
Sea C una curva con curvatura K en el punto P. El círculo que pasa por el punto P de
radio r 1K se denomina el círculo de curvatura si su centro se encuentra en el lado
cóncavo de la curva y tiene en común con la curva una recta tangente en el punto P. Al
radio se le llama el radio de curvatura en P, y al centro se le llama el centro de curvatura.
El círculo de curvatura permite estimar gráficamente la curvatura K en un punto P de
una curva. Usando un compás, se puede trazar un círculo contra el lado cóncavo de la
curva en el punto P, como se muestra en la figura 12.36. Si el círculo tiene radio r, se puede
estimar que la curvatura es K 1r.
EJEMPLO 6
Hallar la curvatura en coordenadas rectangulares
1
−1
−2
−3
−4
y
P(2, 1)
−1 1 2 3
(2, −1)
r =
1
= 2
K
El círculo de curvatura
Figura 12.37
1 y = x − x 2
4
Q(4, 0)
x
Hallar la curvatura de la parábola dada por y x 1 4 x2 en x 2. Dibujar el círculo de
curvatura en 2, 1.
Solución La curvatura en x 2 se calcula como sigue:
y 1 x 2
y 1 2
y 0
K
y
1 y 2 32 y 1 2
K 1 2
Como la curvatura en P2, 1 1
es 2 , el radio del círculo de curvatura en ese punto es 2. Por
tanto, el centro de curvatura es 2, 1, como se muestra en la figura 12.37. [En la figura,
obsérvese que la curva tiene la mayor curvatura en P. Trate de mostrar que la curvatura en
Q4, 0 es 12 52 0.177. ]