Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1064 CAPÍTULO 15 Análisis vectorial
Rotacional de un campo vectorial
El teorema 15.1 tiene un análogo para campos vectoriales en el espacio. Antes de establecer
ese resultado, se da la definición del rotacional de un campo vectorial en el espacio.
DEFINICIÓN DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
El rotacional de Fx, y, z Mi Nj Pk es
curl rot Fx, F y, z Fx, y, z
P
y N
z i P
x M
z j N
x M
y k.
NOTA
Si rot F = 0, entonces se dice que F es un campo irrotacional.
■
La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente
f como el resultado del operador diferencial que actúa sobre la función f. En
este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica
para recordar la fórmula para el rotacional.
curl rot Fx, y, z Fx, y, z
i j k
x y z
M N P
P
y N
z i P
x M
z j N
x M
y k
EJEMPLO 7
Cálculo del rotacional de un campo vectorial
Hallar rot F para el campo vectorial dado por
Fx, y, z 2xyi x 2 z 2 j 2yzk.
¿Es F irrotacional?
Solución
El rotacional de F está dado por
curl rot Fx,
y, z Fx, y, z
i j k
x y z
2xy x 2 z 2yz
2
y z
x z
x
x 2 z 2yzi 2
2xy 2yzj 2xy
2z 2zi 0 0j 2x 2xk
0.
y
x 2 z 2k
Como rot F = 0, F es irrotacional.