Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

928 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
EJEMPLO 4
Regla de la cadena con dos variables independientes
Utilizar la regla de la cadena para encontrar ws y wt, dada
w 2xy
donde x s 2 t 2 y y st.
Solución Nótese que estas mismas derivadas parciales fueron calculadas en el ejemplo
3. Esta vez, usando el teorema 13.7, se puede mantener constante t y derivar con respecto
a s para obtener
w
s w x
x s w y
y s
2y2s 2x
1
t
2
s
t
4s2
t
t 2s 2s2
1
s
t
2 + t 2
2s2 2t 2
t
6s2 2t 2
.
t
Sustituir y por st y x por s 2 t 2 .
De manera similar, manteniendo s constante se obtiene
w
t w x
x t w y
y t
2y2t 2x
s
t 2
2 s
Sustituir y por st y x por s 2 t .
t 2t 2s2
s
s
t
2 + t 2
t 2 2
4s 2s3 2st 2
t 2
4st2 2s 3 2st 2
t 2
2st2 2s 3
t 2 .
La regla de la cadena del teorema 13.7 también puede extenderse a cualquier número
de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables x 1 , x 2 , . . . , x n ,
donde cada x i es una función diferenciable de m variables t 1 , t 2 , . . . , t m , entonces para
w f x 1 , x 2 , . . . , x n
se obtiene lo siguiente.
w
w x 1
w x 2
t 1 x 1 t 1 x 2 t . . . w x n
1 x n t 1
w
w x 1
w x 2
t 2 x 1 t 2 x 2 t . . . w x n
2 x n t 2
w
w x 1
w x 2
t m x 1 t m x 2 t . . . w x n
m x n t m