Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

742 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
EJEMPLO 1
Encontrar el área de una región polar
r = 3 cos 3θ
π
2
El área de un pétalo de la curva rosa que se
encuentra entre las rectas radiales
y
es 34.
Figura 10.51
6
6
3
0
Encontrar el área de un pétalo de la curva rosa dada por r 3 cos 3.
Solución En la figura 10.51 se puede ver que el pétalo al lado derecho se recorre a medida
que aumenta de 6 a 6. Por tanto, el área es
Fórmula para el área en
A
2
1 r 2 d
2
1 6
3 cos 3 2 d
coordenadas polares.
6
NOTA Para hallar el área de la región comprendida dentro de los tres pétalos de la curva rosa del
ejemplo 1, no se puede simplemente integrar entre 0 y 2. Si se hace así, se obtiene 92, que es
el doble del área de los tres pétalos. Esta duplicación ocurre debido a que la curva rosa es trazada
dos veces cuando aumenta de 0 a 2.
■
2
9 6
9 sen sin 6
4
6
9 4
6
3
4 .
6
1 cos 6
2
6
6
6
d
Identidad
trigonométrica.
EJEMPLO 2
Hallar el área limitada por una sola curva
Hallar el área de la región comprendida entre los lazos interior y exterior del caracol
r 1 2 sen sin .
=
5
6
2
2
=
6
3
r = 1 − 2 sen
El área entre los lazos interior y exterior es
aproximadamente 8.34
Figura 10.52
0
Solución En la figura 10.52, obsérvese que el lazo interior es trazado a medida que
aumenta de 6 a 56. Por tanto, el área comprendida por el lazo interior es
A 1
2
1 r 2 d
2
1
2
1
2
1
56
6
56
6
56
1 4 sin 4
6
1 cos 2
sen
2
1 56
6
2 1 3 4 cos sin 2 56
sen
1 2 2 33
1 2 sen sin 2 d
1 4 sin sen 4 sen sin 2 d
3 4 sen sin 2 cos 2 d
6
2 d
Fórmula para el área en
coordenadas polares.
Identidad
trigonométrica.
Simplificación.
33
2 .
De manera similar, se puede integrar de 56 a 136 para hallar que el área de la región
comprendida por el lazo exterior es A 2 2 332. El área de la región comprendida
entre los dos lazos es la diferencia entre y A 1 .
A A 2 A 1 2 33
2 33
2 33 8.34
A 2