Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.6 Integrales de superficie 1115
Se ha visto que si la función ƒ definida sobre la superficie S es simplemente
fx, y, z 1, la integral de superficie da el área de la superficie S.
Área de Area la superficie of surface S 1 dS
Por otro lado, si S es una lámina de densidad variable y x, y, z es la densidad en el punto
x, y, z, entonces la masa de la lámina está dada por
Masa Mass de of la lamina lámina S x, y, z dS.
EJEMPLO 3
Hallar la masa de una lámina bidimensional
x
2
1
Figura 15.48
4
3
2
1
z
1
R: x 2 + y 2 = 4
Cono:
z = 4 − 2 x 2 + y 2
2
y
Una lámina bidimensional S en forma de cono está dada por
z 4 2x 2 y 2 ,
como se muestra en la figura 15.48. En todo punto de S, la densidad es proporcional a la
distancia entre el punto y el eje z. Hallar la masa m de la lámina.
Solución
Al proyectar S sobre el plano xy se obtiene
S: z 4 2x 2 y 2 gx, y,
R: x 2 y 2 ≤ 4
con densidad x, y, z kx 2 y 2 . Usando una integral de superficie, se halla que es
m S x, y, z dS
R kx 2 y 2 1 g x x, y 2 g y x, y 2 dA
kR x2 y 2 1
kR 5x2 y 2 dA
k
2
2
0
5rr dr d
0
5k
3
r 3 2
0 0
85k
3
85k
2
0
2
3 2
0
d
d
0 ≤ z ≤ 4
165k .
3
0 ≤ z ≤ 4
4x2
x 2 y 4y 2
2 x 2 y dA 2
Coordenadas polares.
TECNOLOGÍA Utilizar un sistema algebraico por computadora y confirmar el resultado
del ejemplo 3. El sistema algebraico por computadora Maple calculó la integral
así:
2
k
4y
2
2
4y 2 5x 2 y 2 dx dy k
2
2
0 0
5rr dr d 165k
3