Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.8 Cambio de variables: jacobianos 1047
Cambio de variables en integrales dobles
TEOREMA 14.5
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES DOBLES
Sea R una región vertical u horizontalmente sencilla en el plano xy y sea S una región
vertical u horizontalmente sencilla en el plano uv. Sea T desde S hasta R dado por T(u,
v) (x, y) (g(u, v), h(u, v)), donde g y h tienen primeras derivadas parciales continuas.
Suponer que T es uno a uno excepto posiblemente en la frontera de S. Si f es
continua en R y (x, y)(u, v) no es cero en S, entonces
x, y
R f x, ydx dy S f gu, v, hu, v v
du dv.
u,
v
(u, v + ∆v)
S
(u + ∆u, v + ∆v)
DEMOSTRACIÓN Considerar el caso en el que S es una región rectangular en el plano uv con
vértices u, v, u u, v, u u, v v, y u, v v, como se muestra en la figura
14.74. Las imágenes de estos vértices en el plano xy se muestran en la figura 14.75. Si u y
v son pequeños, la continuidad de g y de h implica que R es aproximadamente un paralelogramo
determinado por los vectores MN \
y MQ \ . Así pues, el área de R es
(u, v) (u + ∆u, v)
Área de S u v
u > 0, v > 0
Figura 14.74
u
A MN \ MQ \ .
Para u y v pequeños, las derivadas parciales de g y h con respecto a u pueden ser aproximadas
por
g u u, v
Por consiguiente,
gu u, v gu, v
u
y
h u u, v
hu u, v hu, v
.
u
y
MN \ gu u, v gu, v i hu u, v hu, vj
Q
R
P
g u u, v ui h u u, v u j
x y
ui
u u uj.
M = (x, y)
x = g(u, v)
y = h(u, v)
Los vértices en el plano xy son
Mgu, v, hu, v, Ngu u, v,
hu u, v, Pgu u, v v,
hu u, v v, y
Qgu, v v, hu, v v.
Figura 14.75
N
x
x y
De manera similar, se puede aproximar por vi lo que implica que
0
v v vj,
MQ\
i j k
x y
x
u u
MN \ MQ \
u u y
u vk.
u u 0
x y
x
v v
v v y
v v
Por tanto, en la notación del jacobiano,
x, y
A MN \ MQ v \ u v.
u,
Como esta aproximación mejora cuando u y se aproximan a 0, el caso límite puede
escribirse como
v
x, y
dA MN \ MQ v \ du dv.
u,
Por tanto,
x, y
Rf x, y dx dy Sf gu, v, hu, v v
du dv.
u,