Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.7 Planos tangentes y rectas normales 953
72. Hiperboloide:
Plano:
73. Demostrar que todo plano tangente al cono
z 2 a 2 x 2 b 2 y 2
pasa por el origen.
74. Sea f una función derivable y considérese la superficie
z xf yx. Mostrar que el plano tangente a cualquier punto
Px 0 , y 0 , z 0 de la superficie pasa por el origen.
75. Aproximación Considerar las aproximaciones siguientes para
una función f x, y centrada en 0, 0.
CAS
Aproximación lineal:
P 1 x, y f 0, 0 f x 0, 0x f y 0, 0y
Aproximación cuadrática:
P 2 x, y f 0, 0 f x 0, 0x f y 0, 0y
1
2 f xx0, 0x 2 f xy 0, 0xy 1 2 f yy0, 0y 2
[Observar que la aproximación lineal es el plano tangente a la
superficie en (0, 0, f (0, 0)).]
a) Hallar la aproximación lineal a f x, y e xy centrada en
(0, 0).
b) Hallar la aproximación cuadrática a f x, y e xy centrada
en (0, 0).
c) Si x 0 en la aproximación cuadrática, ¿para qué función se
obtiene el polinomio de Taylor de segundo orden? Responder
la misma pregunta para y 0.
d) Completar la tabla.
e) Utilizar un sistema algebraico por computadora y representar
gráficamente las superficies z ƒ(x, y), z P 1
(x, y) y z
P 2
(x, y).
76. Aproximación Repetir el ejercicio 75 con la función ƒ(x, y)
cos (x + y).
77. Demostrar que el ángulo de inclinación del plano tangente a la
superficie z f x, y en el punto x 0 , y 0 , z 0 está dado por
cos
x 2
a 2 y2
b 2 z2
c 2 1
x 0 x
a y 0y
2 b z 0z
2 c 1 2
x y f x, y P 1 x, y P 2 x, y
0 0
0 0.1
0.2 0.1
0.2 0.5
1 0.5
1
[ f x x 0 , y 0 ] 2 [ f y x 0 , y 0 ] 2 1 .
78. Demostrar el teorema 13.14.
PROYECTO DE TRABAJO
Flora silvestre
La diversidad de la flora silvestre en una pradera se puede medir contando
el número de margaritas, lirios, amapolas, etc. Si existen n
tipos de flores silvestres, cada una en una proporción p i
respecto a la
población total, se sigue que p 1 p 2 . . . p n 1. La medida
de diversidad de la población se define como
H n
p i log 2 p i .
i1
En esta definición, se entiende que p i log 2 p i 0 cuando p i 0.
Las tablas muestran las proporciones de flores silvestres en una
pradera en mayo, junio, agosto y septiembre.
Mayo
Tipo de flor 1 2 3 4
Proporción
5 5 5 1
16 16 16 16
Junio
Tipo de flor 1 2 3 4
1 1 1 1
Proporción 4 4 4 4
Agosto
Tipo de flor 1 2 3 4
1
0
1 1
Proporción 4
4 2
Septiembre
Tipo de flor 1 2 3 4
Proporción 0 0 0 1
a) Determinar la diversidad de flores silvestres durante cada mes.
¿Cómo se interpretaría la diversidad en septiembre? ¿Qué mes
tiene mayor diversidad?
b) Si la pradera contiene 10 tipos de flores silvestres en proporciones
aproximadamente iguales, la diversidad de la población
¿es mayor o menor que la diversidad de una distribución similar
con 4 tipos de flores? ¿Qué tipo de distribución (de 10 tipos de
flores silvestres) produciría la diversidad máxima?
c) Sea H n la diversidad máxima de n tipos de flores silvestres.
¿Tiende a algún límite cuando n → ?
H n
PARA MAYOR INFORMACIÓN Los biólogos utilizan el concepto
de diversidad para medir las proporciones de diferentes tipos de
organismos dentro de un medio ambiente. Para más información
sobre esta técnica, ver el artículo “Information Theory and Biological
Diversity” de Steven Kolmes y Kevin Mitchell en la UMAP Modules.