Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.7 Planos tangentes y rectas normales 945
13.7 Planos tangentes y rectas normales
■ Hallar ecuaciones de planos tangentes y rectas normales a superficies.
■ Hallar el ángulo de inclinación de una recta en el espacio.
■ Comparar los gradientes f x, y y Fx, y, z.
EXPLORACIÓN
Bolas de billar y rectas normales
En cada una de las tres figuras la
bola en movimiento está a punto de
golpear una bola estacionaria en el
punto P. Explicar cómo utilizar la
recta normal a la bola estacionaria
en el punto P para describir el
movimiento resultante en cada una
de las bolas. Suponiendo que todas
las bolas en movimiento tengan la
misma velocidad, ¿cuál de las bolas
estacionarias adquirirá mayor velocidad?
¿Cuál adquirirá menor velocidad?
Explicar el razonamiento.
Recta normal
a la bola
estacionaria
en el punto P
P
Recta normal
a la bola
estacionaria
en el punto P
P
Bola
estacionaria
Bola
estacionaria
Recta normal
a la bola
estacionaria
en el punto P
Bola en
movimiento
Bola en
movimiento
Plano tangente y recta normal a una superficie
Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente por medio de
ecuaciones de la forma
z f x, y.
Ecuación de una superficie S.
Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representación más general
Fx, y, z 0. Una superficie S dada por z f x, y, se puede convertir a la forma
general definiendo F como
Fx, y, z f x, y z.
Puesto que f x, y z 0, se puede considerar S como la superficie de nivel de F dada
por
Fx, y, z 0.
EJEMPLO 1
Dada la función
Ecuación alternativa de la superficie S.
Expresar una ecuación de una superficie
Fx, y, z x 2 y 2 z 2 4
describir la superficie de nivel dada por Fx, y, z 0.
Solución La superficie de nivel dada por Fx, y, z 0 puede expresarse como
x 2 y 2 z 2 4
la cual es una esfera de radio 2 centrada en el origen.
Se han visto muchos ejemplos acerca de la utilidad de rectas normales en aplicaciones
relacionadas con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes al analizar superficies
y sólidos. Por ejemplo, considérese la colisión de dos bolas de billar. Cuando una bola
estacionaria es golpeada en un punto P de su superficie, se mueve a lo largo de la línea de
impacto determinada por P y por el centro de la bola. El impacto puede ser de dos maneras.
Si la bola que golpea se mueve a lo largo de la línea de impacto, se detiene y transfiere todo
su momento a la bola estacionaria, como se muestra en la figura 13.55. Si la bola que golpea
no se mueve a lo largo de la línea de impacto, se desvía a un lado o al otro y retiene
parte de su momento. La transferencia de parte de su momento a la bola estacionaria ocurre
a lo largo de la línea de impacto, sin tener en cuenta la dirección de la bola que golpea,
como se muestra en la figura 13.56. A esta línea de impacto se le llama recta normal a la
superficie de la bola en el punto P.
P
Línea de
impacto
Bola
estacionaria
Bola en
movimiento
Línea de
impacto
Línea de
impacto
Figura 13.55
Figura 13.56