Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1028 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
EXPLORACIÓN
Volumen de un sector paraboloide
En las páginas 997 y 1006, se pidió
resumir las diferentes formas estudiadas
hasta ahora para hallar el
volumen del sólido limitado o acotado
por el paraboloide
z a 2 x 2 y 2 ,
y el plano xy. Ahora se conoce un
método más. Utilizarse para hallar
el volumen del sólido.
a > 0
z
a 2
La versión siguiente del teorema de Fubini describe una región que es considerada
simple con respecto al orden dz dy dx. Para los otros cinco órdenes pueden formularse
descripciones similares.
TEOREMA 14.4
EVALUACIÓN MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS
Sea f continua en una región sólida definida por Q
a ≤ x ≤ b,
donde h 1
, h 2
, g 1
y
h 1 x ≤ y ≤ h 2 x,
g 2
b h
fx, y, z dV
2 ah 1 x
Q
son funciones continuas. Entonces,
g 2
x, y
g 1 x, y
g 1 x, y ≤ z ≤ g 2 x, y
fx, y, z dz dy dx.
Para evaluar una integral iterada triple en el orden dz dy dx, se mantienen x y y constantes
para la integración más interior. Después, se mantiene x constante para la segunda
integración.
−a
x
a
a
y
EJEMPLO 1
Evaluar una integral iterada triple
Evaluar la integral iterada triple
2
x
0 00
xy
e x y 2z dz dy dx.
Solución Para la primera integración, se mantienen x y y constantes y se integra con
respecto a z.
2 xy
2 x
xy
e x y 2z dz dy dx e x yz z 2 dy dx
x
0 00
Para la segunda integración, mantener x constante y se integra con respecto a y.
2
00
x
00
2
0
0
2
e x x 2 3xy 2y 2 dy dx
0 ex x2 y 3xy 2
2 2y3
x
19
2
6
x 3 e x dx
0
e x x 2 3xy 2y 2 dy dx
0
3 x 0
dx
Por último, se integra con respecto a x.
60
19
2
x 3 e x dx 19
6 ex x 3 3x 2 2
6x 6
0
19
e 2
3 1
65.797
El ejemplo 1 muestra el orden de integración dz dy dx. Con otros órdenes, se puede
seguir un procedimiento similar. Por ejemplo, para evaluar una integral iterada triple en el
orden dx dy dz, se mantienen y y z constantes para la integración más interior y se integra
con respecto a x. Después, para la segunda integración, se mantiene z constante y se integra
con respecto a y. Por último, para la tercera integración, se integra con respecto a z.