Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

−4
−2
Figura 13.1
4
2
1
−1
−1
−2
−4
y
Dominio de
x 2 + y 2 − 9
f(x, y) = x
1
2
4
x
SECCIÓN 13.1 Introducción a las funciones de varias variables 887
EJEMPLO 1 Dominios de funciones de varias variables
Hallar el dominio de cada función.
x
a) f x, y x2 y 2 9
b) gx, y, z
x
9 x 2 y 2 z 2
Solución
a) La función f está definida para todos los puntos x, y tales que x 0 y
x 2 y 2 ≥ 9.
Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el círculo
x 2 y 2 9, o en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se muestra
en la figura 13.1.
b) La función g está definida para todos los puntos x, y, z tales que
x 2 y 2 z 2 < 9.
Por consiguiente, el dominio es el conjunto de todos los puntos x, y, z que se encuentran
en el interior de la esfera de radio 3 centrada en el origen.
Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que las funciones
de una sola variable. Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia, el producto
y el cociente de funciones de dos variables como sigue.
f ± gx, y f x, y ± gx, y
Suma o diferencia.
fg x, y f x, ygx, y
Producto.
f f x, y
x, y gx, y 0 Cociente.
g gx, y
No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embargo, si
h es una función de varias variables y g es una función de una sola variable, puede formarse
la función compuesta g hx, y como sigue.
g hx, y ghx, y
Composición.
El dominio de esta función compuesta consta de todo x, y en el dominio de h tal que
hx, y está en el dominio de g. Por ejemplo, la función dada por
f x, y 16 4x 2 y 2
puede verse como la composición de la función de dos variables dadas por hx, y
16 4x 2 y 2 y la función de una sola variable dada por gu u. El dominio de esta
función es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse dada por 4x 2
y 2 16 o en su interior.
Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma cx m y n (donde
c es un número real y m y n son enteros no negativos) se llama una función polinomial de
dos variables. Por ejemplo, las funciones dadas por
f x, y x 2 y 2 2xy x 2
y
gx, y 3xy 2 x 2
son funciones polinomiales de dos variables. Una función racional es el cociente de dos
funciones polinomiales. Terminología similar se utiliza para las funciones de más de dos variables.