Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.2 Integrales dobles y volumen 997
EXPLORACIÓN
El volumen de un sector
de paraboloide
El sólido del ejemplo 3 tiene una
base elíptica (no circular). Considerar
la región limitada o acotada
por el paraboloide circular
z a 2 x 2 y 2 , a > 0
y el plano xy. ¿Cuántas maneras de
hallar el volumen de este sólido se
conocen ahora? Por ejemplo, se
podría usar el método del disco para
encontrar el volumen como un sólido
de revolución. ¿Todos los métodos
emplean integración?
−a
x
a
a 2
z
a
y
La dificultad para evaluar una integral simple b a f x dx depende normalmente de la
función ƒ, y no del intervalo [a, b]. Ésta es una diferencia importante entre las integrales
simples y las integrales dobles. En el ejemplo siguiente se integra una función similar a la
de los ejemplos 1 y 2. Nótese que una variación en la región R lleva a un problema de integración
mucho más difícil.
EJEMPLO 3
Hallar el volumen por medio de una integral doble
Hallar el volumen de la región sólida acotada por el paraboloide
plano xy.
z 4 x 2 2y 2 y el
Solución Haciendo z 0, se ve que la base de la región, en el plano xy, es la elipse
x 2 2y 2 4, como se muestra en la figura 14.19a. Esta región plana es vertical y horizontalmente
simple, por tanto el orden dy dx es apropiado.
Límites o cotas variables para y:
4 x 2
≤ y ≤
2
4 x 2
2
Límites o cotas constantes para x: 2 ≤ x ≤ 2
El volumen está dado por
2
V
2
32
32
4
4x
2
2 2
4x 2 2
4 x2 y 2y3
2 3 4x2 2
32 3
128
42.
2
2
2
4 16 cos 4
2
64
2
32 2 cos 4
0
16
4 x 2 2y 2 dy dx
4 x 2 32 dx
d
d
4x 2 2
dx
Ver figura 14.19b.
x 2 sen .
Fórmula de Wallis.
NOTA En el ejemplo 3, observar la
utilidad de la fórmula de Wallis para
2
evaluar 0 cos n d. Esta fórmula se
puede consultar en la sección 8.3. ■
4
z
Superficie:
f(x, y) = 4 − x 2 − 2y 2
Base: −2 ≤ x ≤ 2
− (4 − x 2 )/2 ≤ y ≤ (4 − x 2 )/2
y
2
1
−1
1
x
∆x
−1
−2
x
3
2
y
Volumen:
2 (4 − x 2 )/2
(4 − x 2 − 2y 2 ) dy dx
−2 − (4 − x 2 )/2
a) b)
Figura 14.19