Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1006 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
TEOREMA 14.3
CAMBIO DE VARIABLES A LA FORMA POLAR
Sea R una región plana que consta de todos los puntos (x, y) (r cos , r sen ) que satisfacen
las condiciones 0 g 1
() r g 2
(), , donde 0 ( ) 2. Si
g 1
y g 2
son continuas en [, ] y f es continua en R, entonces
R fx, y dA
g 2
g 1
fr cos , r sen sin r dr d.
EXPLORACIÓN
Volumen de un sector paraboloide
En la exploración de la página 997
se pidió resumir los diferentes
métodos hasta ahora estudiados
para calcular el volumen del sólido
limitado o acotado por el paraboloide
z a 2 x 2 y 2 ,
a > 0
y el plano xy. Ahora se conoce un
método más. Utilizarlo para encontrar
el volumen del sólido.
NOTA Si z f x, y es no negativa en R, entonces la integral del teorema 14.3 puede interpretarse
como el volumen de la región sólida entre la gráfica de ƒ y la región R. Cuando se usa la integral
en el teorema 14.3, asegurarse de no omitir el factor extra de r en el integrando.
■
La región R puede ser de dos tipos básicos, regiones r-simples y regiones -simples,
como se muestra en la figura 14.29.
π
2
Límites o cotas fijas para θ:
θ = β
g α ≤ θ ≤ β
2
Límites o cotas variables para r:
0 ≤ g 1
( θ) ≤ r ≤ g 2
( θ)
∆θ
g 1
Región r-simple
Figura 14.29
θ = α
0
π
2
Límites o cotas variables para θ:
0 ≤ h 1
(r) ≤ θ ≤ h 2
(r)
h 2 Límites o cotas fijas para r:
r 1
≤ r ≤ r 2
h 1
∆r
0
r = r 1
r = r 2
Región -simple
EJEMPLO 2
Evaluar una integral usando coordenadas polares doble
R: 1 ≤ r ≤ 5
0 ≤ θ ≤ 2π
Regiónr-simple
Figura 14.30
π
2
R
2 3
0
Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos x 2 y 2 1 y x 2 y 2 5.
Evaluar la integral R x 2 y dA.
Solución Los límites o cotas polares son 1 ≤ r ≤ 5 y 0 ≤ ≤ 2, como se muestra
en la figura 14.30. Además, x 2 r cos 2 y y r sin sen.
Por tanto, se tiene
R x 2 y dA
2
5
0 1
5
0 1
2
2
r 4
0 4 cos2
2
0
6 cos2
2
3 3 cos 2 55 1 sin sen
0 3
d
3
r 2 cos 2
r 3 cos 2 r 2 sin sen dr d
r 3
r sin r dr d
3 sin 5
sen
55 1
3
sen
3 sen sin 2
55 1
2 3
1
d
sen sin d
cos 2
0
6.