Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

954 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
13.8 Extremos de funciones de dos variables
■ Hallar extremos absolutos y relativos de una función de dos variables.
■ Utilizar el criterio de las segundas derivadas parciales para hallar un extremo relativo
de una función de dos variables.
Mínimo
x
Superficie:
z = f(x, y)
Máximo
z
Región acotada
cerrada R
R contiene algún(os) punto(s) donde
f (x, y) es un mínimo y algún(os) punto(s)
donde f (x, y) es un máximo
Figura 13.64
y
Extremos absolutos y extremos relativos
En el capítulo 3 se estudiaron las técnicas para hallar valores extremos de una función de
una (sola) variable. En esta sección se extienden estas técnicas a funciones de dos variables.
Por ejemplo, en el teorema 13.15 se extiende el teorema del valor extremo para una
función de una sola variable a una función de dos variables.
Considérese la función continua f de dos variables, definida en una región acotada
cerrada R. Los valores f (a, b y f c, d tales que
f a, b ≤ f x, y) ≤ f c, d
a, b y c, d están en R.
para todo x, y en R se conocen como el mínimo y máximo de f en la región R, como se
muestra en la figura 13.64. Recuérdese de la sección 13.2 que una región en el plano es
cerrada si contiene todos sus puntos frontera. El teorema del valor extremo se refiere a una
región en el plano que es cerrada y acotada. A una región en el plano se le llama acotada
si es una subregión de un disco cerrado en el plano.
TEOREMA 13.15
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región acotada
cerrada R en el plano xy.
1. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mínimo.
2. Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máximo.
A un mínimo también se le llama un mínimo absoluto y a un máximo también se le
llama un máximo absoluto. Como en el cálculo de una variable, se hace una distinción
entre extremos absolutos y extremos relativos.
DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS
z
Sea f una función definida en una región R que contiene x 0 , y 0 .
1. La función f tiene un mínimo relativo en x 0 , y 0 si
f x, y ≥ f x 0 , y 0
para todo x, y en un disco abierto que contiene x 0 , y 0 .
2. La función f tiene un máximo relativo en x 0 , y 0 si
f x, y ≤ f x 0 , y 0
para todo x, y en un disco abierto que contiene x 0 , y 0 .
x
5
Extremos relativos
Figura 13.65
5
y
Decir que f tiene un máximo relativo en x 0 , y 0 significa que el punto x 0 , y 0 , z 0 es
por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la gráfica de z f x, y. De manera
similar, f tiene un mínimo relativo en x 0 , y 0 si x 0 , y 0 , z 0 es por lo menos tan bajo
como todos los puntos cercanos en la gráfica. (Ver la figura 13.65.)