Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.3 Derivadas parciales 909
NOTACIÓN PARA LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES
Si z fx, y, las derivadas parciales y se denotan por
y
x fx, y f xx, y z x z
x
y fx, y f yx, y z y z
y .
Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto a, b se denotan por
z
xa, b
f x a, b
y
z
f x
ya, b
f y
f y a, b.
EJEMPLO 2
Hallar y evaluar las derivadas parciales
z
(x 0 , y 0 , z 0 )
Dada fx, y xe x2 y
, hallar y f y , y evaluar cada una en el punto 1, ln 2.
f x
Solución Como
f x x, y xe x2 y
2xy e x2 y
Derivada parcial con respecto a x.
la derivada parcial de f con respecto a x en 1, ln 2 es
x
Plano: y = y 0
f
pendiente en la dirección x
Figura 13.29
y
f x 1, ln 2 e ln 2 2 ln 2 e ln 2
4 ln 2 2.
Como
f y x, y xe x2 y
x 2
x 3 e x2 y
Derivada parcial con respecto a y.
la derivada parcial de f con respecto a y en 1, ln 2 es
f y 1, ln 2 e ln 2
2.
x (x 0 , y 0 , z 0 )
z
x
Plano: x = x 0
f
pendiente en la dirección y
y
Figura 13.30
y
Las derivadas parciales de una función de dos variables, z fx, y, tienen una interpretación
geométrica útil. Si y y 0 , entonces z fx, y 0 representan la curva intersección
de la superficie z fx, y con el plano y y 0 , como se muestra en la figura 13.29.
Por consiguiente,
f x x 0 , y 0 lím lim
x→0
representa la pendiente de esta curva en el punto x 0 , y 0 , fx 0 , y 0 . Nótese que tanto la
curva como la recta tangente se encuentran en el plano y y 0 . Análogamente,
f y x 0 , y 0 lim lím
y→0
fx 0 x, y 0 fx 0 , y 0
x
fx 0 , y 0 y fx 0 , y 0
y
representa la pendiente de la curva dada por la intersección de z fx, y y el plano
x x 0 en x 0 , y 0 , fx 0 , y 0 , como se muestra en la figura 13.30.
Informalmente, los valores fx y fy en x 0 , y 0 , z 0 denotan las pendientes de la
superficie en las direcciones de x y y, respectivamente.