Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 12.5 Longitud de arco y curvatura 875
La fuerza del empuje lateral que perciben
los pasajeros en un automóvil que toma
una curva depende de dos factores: la rapidez
del automóvil y lo brusco de la curva
Figura 12.38
La longitud de arco y la curvatura están estrechamente relacionadas con las componentes
tangencial y normal de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración
es la tasa o ritmo de cambio de la rapidez, que a su vez es la tasa o ritmo de cambio de la
longitud de arco. Esta componente es negativa cuando un objeto en movimiento reduce su
velocidad y positiva cuando la aumenta, independientemente de si el objeto gira o viaja en
una recta. En consecuencia, la componente tangencial es solamente función de la longitud
de arco y es independiente de la curvatura.
Por otro lado, la componente normal de la aceleración es función tanto de la rapidez
como de la curvatura. Esta componente mide la aceleración que actúa perpendicular a la
dirección del movimiento. Para ver por qué afectan la rapidez y la curvatura a la componente
normal, imaginarse conduciendo un automóvil por una curva, como se muestra en la
figura 12.38. Si la velocidad es alta y la curva muy cerrada, se sentirá empujado contra la
puerta del automóvil. Al bajar la velocidad o tomar una curva más suave, se disminuye este
efecto de empuje lateral.
El teorema siguiente establece explícitamente la relación entre rapidez, curvatura y
componentes de la aceleración.
NOTA El teorema 12.10 da fórmulas
adicionales para y a N .
■
a T
TEOREMA 12.10
ACELERACIÓN, RAPIDEZ Y CURVATURA
Si rt es el vector posición de una curva suave C, entonces el vector aceleración está
dado por
at d 2 s
dt 2 T K ds
dt 2 N
donde K es la curvatura de C y dsdt es la rapidez.
DEMOSTRACIÓN
at a T T a N N
Para el vector posición rt, se tiene
D t vT v TN
d 2 s
dt 2 T ds
dt vKN
d 2 s
dt T K ds
dt 2 N.
2
EJEMPLO 7 Componentes tangencial y normal de la aceleración
Hallar a T y de la curva dada por
a N
rt 2t i t 2 j 1 3 t 3 k.
Solución
Por tanto,
y
Por el ejemplo 5, se sabe que
ds
dt rt t 2 2
a T d 2 s
dt 2 2t
a N K
ds
dt 2 2
t 2 2 t 2 2 2 2 2.
y
K
2
t 2 2 2 .
Componente tangencial.
Componente normal.