Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.3 Cambio de variables: coordenadas polares 1009
14.3 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 4 se muestra la región R para la integral
R fx, y dA. Decir si serían más convenientes coordenadas rectangulares
o polares para evaluar la integral.
1. y
2.
4
3
2
1
3. y
4.
En los ejercicios 5 a 8, utilizar las coordenadas polares para
describir la región mostrada.
5. y
6.
−8
7. y
8.
−4
En los ejercicios 9 a 16, evaluar la integral doble
y dibujar la región R.
−4
2
1
−4
cos
0 0
6
0 0
R
4
2
−2
−4
12
4
−4
4
2
−2
2 3 4
11. 3r 2 sen sin dr d 12.
R
2 4
4 8
9. r dr d
10.
4
x
x
x
x
−6
3
2
1
−1
−4
−4
y
R
1
−2
−2
sen
0 0
4 4
0 0
4
2
−4
R
−2
6
2
−2
y
y
4
2
−2
−4
r 2 dr d
y
2 3 4
2 4
R fr, dA,
r 2 sen sin cos dr d
2
4
x
x
x
x
13. 9 r 2 r dr d 14.
15. r dr d 16.
En los ejercicios 17 a 26, evaluar la integral iterada pasando a
coordenadas polares.
17. y dx dy
18.
21. x 2 y 2 32 dy dx 22.
23. xy dy dx 24.
En los ejercicios 27 y 28, combinar la suma de las dos integrales
iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas
polares. Evaluar la integral iterada resultante.
27.
28.
En los ejercicios 29 a 32, utilizar coordenadas polares para escribir
y evaluar la integral doble R fx, y dA.
29.
30.
31.
32.
2 3
0 2
2 1sin sen θ
0 0
a
00
2
3
00
2
0
0
2
0
0
a 2 y 2
19. x 2 y 2 dy dx 20.
25.
26.
2
1
2
0
1
0
9x 2
2xx 2
x
0
4 x 2
1 x 2
0
4 x 2
522 x
0 0
cos x 2 y 2 dy dx
sen x 2 y 2 dy dx
x 2 y 2 dy dx 22
5
xy dy dx
2
0
y
4
0
0
8x
2
2 0
25x
522
2
0
2 3
0 0
2 1cos
0 0
8y 2
4yy 2
xy dy dx
fx, y x y, R: x 2 y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
x 2 y 2 dx dy
x 2 dx dy
x 2 y 2 dy dx
f x, y e x2 y 2 2
, R: x 2 y 2 ≤ 25, x ≥ 0
fx, y arctan y R: x 2 y 2 ≥ 1, x 2 y 2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x
x ,
fx, y 9 x 2 y 2 , R: x 2 y 2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0
Volumen En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral doble en
coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado o
acotado por las gráficas de las ecuaciones.
33. z xy, x 2 y 2 1, primer first octant octante
34. z x 2 y 2 3, z 0, x 2 y 2 1
35. z x 2 y 2 , z 0, x 2 y 2 25
36. z lnx 2 y 2 , z 0, x 2 y 2 ≥ 1, x 2 y 2 ≤ 4
37. Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 e interior al cilindro
x 2 y 2 4x 0
38. Interior al hemisferio z 16 x 2 y 2 y exterior al cilindro
x 2 y 2 1
a
00
0
1
a 2 x 2
x x 2
re r2 dr d
sin senr dr d
x dy dx
x x 2 x 2 y 2 dy dx