Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas 1103
z
3
EJEMPLO 1 Trazado de una superficie paramétrica
Identificar y dibujar la superficie paramétrica S dada por
ru, v 3 cos ui 3 sen sin uj vk
x
Figura 15.36
4
y
donde 0 ≤ u ≤ 2 y 0 ≤ v ≤ 4.
Solución Como x 3 cos u y y 3 sen sin u, se sabe que en cada punto x, y, z de la
superficie, x y y están relacionados mediante la ecuación x 2 y 2 3 2 . En otras palabras,
cada sección transversal de S, paralela al plano xy, es una circunferencia de radio 3, centrado
en el eje z. Como z v, donde 0 ≤ v ≤ 4, se ve que la superficie es un cilindro
circular recto de altura 4. El radio del cilindro es 3, y el eje z forma el eje del cilindro, como
se muestra en la figura 15.36.
Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representaciones
paramétricas de superficies no son únicas. Es decir, hay muchos conjuntos de ecuaciones
paramétricas que podrían usarse para representar la superficie mostrada en la figura 15.36.
z
EJEMPLO 2
Trazado de una superficie paramétrica
Identificar y dibujar una superficie paramétrica S dada por
c 3
c 2
ru, v sen
sin u cos vi sen sin u sen sin vj cos uk
donde 0 ≤ u ≤
y 0 ≤ v ≤ 2.
d 1
c 4 c 1 d 2
Solución Para identificar la superficie, se puede tratar de emplear identidades trigonométricas
para eliminar los parámetros. Después de experimentar un poco, se descubre que
x
d 4
d 3
y
x 2 y 2 z 2 sin senu cos v 2 sin senu sin senv 2 cos u 2
sen sin 2 u cos 2 v sen sin 2 usen
sin 2 v cos 2 u
sen
sin 2 ucos 2 v sen
sin 2 v cos 2 u
Figura 15.37
sen
sin 2 u cos 2 u
1.
Así pues, cada punto en S se encuentra en la esfera unitaria o esfera unidad, centrada en el
origen, como se muestra en la figura 15.37. Para u d i , ru, v traza circunferencias de
latitud
x 2 y 2 sen sin 2 d i i ,
0 ≤ d i ≤
paralelos al plano xy, y para
traza semicírculos de longitud (o meridianos).
v c i ,
ru, v
NOTA Para convencerse de que la función vectorial del ejemplo 2 traza toda la esfera unitaria o
esfera unidad, recuérdese que las ecuaciones paramétricas
x
sin sen
cos , y sin sen
sin sen,
y
z
cos
donde 0 ≤ ≤ 2 y 0 ≤ ≤ , describen la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas
rectangulares, como se vio en la sección 11.7.
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