Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 721
SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 721
10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo
30
20
10
y
x = 24 2t
y = −16t 2 + 24
45°
10
20
En el momento t, el ángulo de elevación del
proyectil es , la pendiente de la recta tangente
en ese punto
Figura 10.29
y
2t
30
θ
x
■ Hallar la pendiente de una recta tangente a una curva dada por un conjunto de ecuaciones
paramétricas.
■ Hallar la longitud de arco de una curva dada por un conjunto de ecuaciones
paramétricas.
■ Hallar el área de una superficie de revolución (forma paramétrica).
Pendiente y rectas tangentes
Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones
paramétricas, lo natural es preguntarse cómo emplear el cálculo para estudiar estas
curvas planas. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las
ecuaciones paramétricas
x 242t
y
y 16t 2 242t
como se ilustra en la figura 10.29. De lo visto en la sección 10.2, se sabe que estas ecuaciones
permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe
que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero, ¿cómo puede encontrarse
el ángulo que representa la dirección del objeto en algún otro instante t? El teorema
siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la
recta tangente en función de t.
TEOREMA 10.7
FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA
Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x f t y y gt, entonces la
pendiente de C en x, y es
dy
dx
dx dydt
dxdt , dt 0.
( f(t + ∆t), g(t + ∆t))
∆y
( f(t), g(t))
∆x
x
La pendiente de la recta secante que pasa
por los puntos ft, gt y ft t,
gt t es y x.
Figura 10.30
DEMOSTRACIÓN
y gt t gt
En la figura 10.30, considérese t > 0 y sea
Como x → 0 cuando t → 0, se puede escribir
dy
dx lím lim
x→0
lím lim
t→0
y
x
y
Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre t, se puede emplear la derivabilidad
o diferenciabilidad de f y g para concluir que
dy
dx lim gt t gtt
lím
t→0 f t t f tt
gt t gt
lím lim
t→0 t
f t t f t
lím lim
t→0 t
gt
ft
dydt
dxdt .
gt t gt
f t t f t .
x f t t f t.