Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

922 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
Hay que recordar que la existencia de f x y f y no es suficiente para garantizar la diferenciabilidad,
como se ilustra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 5
Una función que no es diferenciable
Mostrar que f x 0, 0 y f y 0, 0 existen, pero f no es diferenciable en (0, 0), donde f está
definida como
f x, y
3xy
x 2 y2, si x, y 0, 0
.
0, si x, y 0, 0
TECNOLOGÍA Utilizar una
herramienta de graficación para
representar la función del ejemplo 5.
La gráfica mostrada abajo fue
generada con Mathematica.
z
Solución Para mostrar que f no es diferenciable en (0, 0) basta mostrar que no es continua
en este punto. Para ver que f no es continua en (0, 0), se observan los valores de f(x, y)
a lo largo de dos trayectorias diferentes que se aproximan a (0, 0), como se muestra en la
figura 13.38. A lo largo de la recta y x, el límite es
lím
x, x → 0, 0
f x, y lím
x, x → 0, 0
3x 2 3
2x 2 2
x
Generada con Mathematica
y
mientras que a lo largo de y x se tiene
lím
x, x → 0, 0
f x, y
lím
x, x → 0, 0
3x 2 3
2x 2 2 .
Así, el límite de f(x, y) cuando x, y → 0, 0 no existe, y se puede concluir que f no es
continua en (0, 0). Por tanto, de acuerdo con el teorema 13.5, f no es diferenciable en (0, 0).
Por otro lado, de acuerdo con la definición de las derivadas parciales y f y , se tiene
f x
f x 0, 0
lím
x→0
f x, 0 f 0, 0
x
lím
x→0
0 0
x
0
y
f y 0, 0
f 0, y f 0, 0
lím
y→0 y
0 0
lím
y→0 y
0.
Por tanto, las derivadas parciales en (0, 0) existen.
f(x, y) =
−3xy
, (x, y) ≠ (0, 0)
x 2 + y2 0, (x, y) = (0, 0)
z
A lo largo de la recta y = −x,
f(x, y) se aproxima
o tiende a 3/2.
(0, 0, 0)
y
x
A lo largo de la recta y = x,
f(x, y) se aproxima o tiende a −3/2.
Figura 13.38