Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.3 Derivadas parciales 911
Sin importar cuántas variables haya, las derivadas parciales se pueden interpretar
como tasas, velocidades o razones de cambio.
EJEMPLO 5
Derivadas parciales como velocidades
o razones de cambio
a
θ
b
A = ab sen θ
El área del paralelogramo es ab sen q
Figura 13.33
a sen θ
El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y b entre los que se forma un ángulo
q está dada por A ab sen q, como se muestra en la figura 13.33.
a) Hallar la tasa o la razón de cambio de A respecto de a si a 10, b 20 y
b) Calcular la tasa o la razón de cambio de A respecto de si a 10, b 20 y
Solución
6 .
6 .
a) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto de a, se mantienen b y q constantes
y se deriva respecto de a para obtener
A
a b sen sin
A
a
20 sen sin
6 10.
Derivada parcial respecto a a.
Sustituir a b y q.
b) Para hallar la tasa o la razón de cambio del área respecto de q, se mantiene a y b constantes
y se deriva respecto de q para obtener
A
ab cos
A
200 cos
6 1003.
Derivada parcial respecto de q.
Sustituir a, b y q.
Derivadas parciales de una función de tres o más variables
El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o
más variables. Por ejemplo, si w fx, y, z, existen tres derivadas parciales cada una de
las cuales se forma manteniendo constantes las otras dos variables. Es decir, para definir
la derivada parcial de w con respecto a x, se consideran y y z constantes y se deriva con
respecto a x. Para hallar las derivadas parciales de w con respecto a y y con respecto a z se
emplea un proceso similar.
w
x f xx, y, z lim lím
x→0
w
y f yx, y, z lím lim
y→0
w
z f zx, y, z lím lim
z→0
fx x, y, z fx, y, z
x
fx, y y, z fx, y, z
y
fx, y, z z fx, y, z
z
En general, si w fx 1 , x 2 , . . . , x n , hay n derivadas parciales denotadas por
w
x k
f xk
x 1 , x 2 , . . . , x n ,
k 1, 2, . . . , n.
Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes
las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.