Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.1 Integrales iteradas y área en el plano 989
Algunas veces no es posible calcular el área de una región con una sola integral iterada.
En estos casos se divide la región en subregiones de manera que el área de cada subregión
pueda calcularse por medio de una integral iterada. El área total es entonces la suma
de las integrales iteradas.
TECNOLOGÍA Algunos paquetes
de software pueden efectuar integración
simbólica de integrales como
las del ejemplo 6. Tales programas se
pueden utilizar para evaluar las integrales
de los ejercicios y ejemplos
dados en esta sección.
EJEMPLO 6 Un área representada por dos integrales iteradas
Hallar el área de la región R que se encuentra bajo la parábola
y 4x x 2 La parábola forma el límite o cota superior.
sobre el eje x, y sobre la recta
y 3x 6. La recta y el eje x forman el límite o cota inferior.
Solución Para empezar se divide R en dos subregiones R 1 y R 2 como se muestra en la figura
14.7.
y
y = −3x + 6
4
y = 4x − x 2
3
(1, 3)
R 1
R 2
2
∆x
1
1 2
Área =
2 4x − x 2 dy dx
1 −3x + 6
Figura 14.7
+
∆x
x
4
4 4x − x 2 dy dx
2 0
En ambas regiones es conveniente usar rectángulos verticales y se tiene
2 4xx
Area 1
2
4 4xx
dy dx
3x6
2
2
Área
dy dx
0
2
4
4x x 2 3x 6 dx 4x x 2 dx
1
7x 2
2 x3
3 6x 2 1
2x 2 x3
3 4 2
14 8 3 12 7 2 1 3 6 64
32
3 8 3 8 15
2 .
2
El área de la región es 15/2 unidades cuadradas. Tratar de comprobar el resultado
usando el procedimiento para hallar el área entre dos curvas, que se presentó en la sección
7.1.
NOTA En los ejemplos 3 a 6, hay
que observar la ventaja de dibujar la
región de integración. Se recomienda
desarrollar el hábito de hacer dibujos
como ayuda para determinar los límites
de integración de todas las integrales
iteradas de este capítulo.
■
En este punto, uno se puede preguntar para qué se necesitan las integrales iteradas.
Después de todo, ya se sabe usar la integración convencional para hallar el área de una
región en el plano. (Por ejemplo, comparar la solución del ejemplo 4 de esta sección con
la del ejemplo 3 en la sección 7.1.) La necesidad de las integrales iteradas será más clara
en la sección siguiente. En esta sección se presta especial atención a los procedimientos
para determinar los límites de integración de las integrales iteradas, y el conjunto de ejercicios
siguiente está diseñado para adquirir práctica en este procedimiento importante.