Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

816 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
Para clasificar una superficie cuádrica, se empieza por escribir la superficie en la
forma canónica o estándar. Después, se determinan varias trazas en los planos coordenados
o en planos paralelos a los planos coordenados.
EJEMPLO 2
Trazado de una superficie cuádrica
y 2 z 2 z
− = 1
4 1
y 2 x 2
3
−
4 3
2
1
4 3 2 1 2
x
Hiperboloide de dos hojas:
Figura 11.59
y 2 x 2
− − z
4 3
2 = 1
= 1
y
Clasificar y dibujar la superficie dada por 4x 2 3y 2 12z 2 12 0.
Solución
Se empieza por escribir la ecuación en forma canónica o estándar.
4x 2 3y 2 12z 2 12 0
x 2
3 y2
4 z2 1 0
y 2
4 x2
3 z2
Escribir la ecuación original.
Dividir entre 12.
Forma canónica o estándar.
1 1
De la tabla en las páginas 814 y 815 se puede concluir que la superficie es un hiperboloide
de dos hojas con el eje y como su eje. Para esbozar la gráfica de esta superficie, conviene
hallar las trazas en los planos coordenados.
y
Traza xy z 0:
2
x
Traza xz y 0: 2
Traza yx x 0:
4 x2
3 1
3 z2
1 1
y 2
4 z2
1 1
La gráfica se muestra en la figura 11.59.
Hipérbola.
No hay traza.
Hipérbola.
EJEMPLO 3
Trazado de una superficie cuádrica
Paraboloide elíptico:
x = y 2 + 4z 2
−4
2
z
Clasificar y dibujar la superficie dada por x y 2 4z 2 0.
Solución Como x está elevada sólo a la primera potencia, la superficie es un paraboloide.
El eje del paraboloide es el eje x. En la forma canónica o estándar, la ecuación
es
x = y 2 x = 4z 2
2
4
y
x y 2 4z 2 .
Algunas trazas útiles son las siguientes.
Forma canónica o estándar.
10
x
y 2
4
+
z 2
1
= 1
Traza xy z 0:
x y 2
Traza xz y 0:
x 4z 2
y
Paralelo al plano yz x 4: 2
4 z2
1 1
Parábola.
Parábola.
Elipse.
Figura 11.60
La superficie es un paraboloide elíptico, como se muestra en la figura 11.60.
Algunas ecuaciones de segundo grado en x, y y z no representan ninguno de los tipos
básicos de superficies cuádricas. He aquí dos ejemplos.
x 2 y 2 z 2 0
x 2 y 2 1
Un único punto.
Cilindro recto circular.