Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

878 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
En los ejercicios 15 y 16, usar las funciones de integración de una
herramienta de graficación para aproximar la longitud de la
curva en el espacio sobre el intervalo dado.
Función
15. rt t 2 i tj ln tk
16. rt sen sin t i cos t j t 3 k
Intervalo
17. Investigación Considerar la gráfica de la función vectorial
rt ti 4 t 2 j t 3 k en el intervalo 0, 2.
a) Aproximar la longitud de la curva hallando la longitud del
segmento de recta que une sus extremos.
b) Aproximar la longitud de la curva sumando las longitudes de
los segmentos de recta que unen los extremos de los vectores
r0, r0.5, r1, r1.5, y r2.
c) Describir cómo obtener una estimación más exacta mediante
los procesos de los incisos a) y b).
d) Usar las funciones de integración de una herramienta de
graficación para aproximar la longitud de la curva. Comparar
este resultado con las respuestas de los incisos a) y b).
18. Investigación Repetir el ejercicio 17 con la función vectorial
rt 6 cost4i 2 sen sint4j tk.
19. Investigación Considerar la hélice representada por la función
vectorial rt 2 cos t, 2 sin sen t, t.
a) Expresar la longitud de arco s de la hélice como función de t
evaluando la integral
t
s xu 2 yu 2 zu 2 du.
0
b) Despejar t en la relación deducida en el inciso a), y sustituir
el resultado en el conjunto de ecuaciones paramétricas original.
Esto da una parametrización de la curva en términos del
parámetro longitud de arco s.
c) Hallar las coordenadas del punto en la hélice con longitud de
arco s 5 y s 4.
d) Verificar que rs 1.
20. Investigación Repetir el ejercicio 19 con la curva representada
por la función vectorial
En los ejercicios 21 a 24, hallar la curvatura K de la curva donde
s es el parámetro longitud de arco.
21.
rt 4sin sent t cos t, 4cos t t sen sin t, 3 2 t2 .
rs 1 2
2 s i 1 2
2 s j
22. rs 3 si j
23. La hélice del ejercicio 19: rt 2 cos t, 2 sen sin t, t
24. La curva del ejercicio 20:
rt 4sin sen t t cos t, 4cos t t sen sin t,
En los ejercicios 25 a 30, hallar la curvatura K de la curva plana
en el valor dado del parámetro.
25. rt 4t i 2t j, t 1
26. r t t 2 i j, t 2
1 ≤ t ≤ 3
0 ≤ t ≤ 2
3
2 t2
27.
28.
29.
r t
r t
ti
t i
r t t, sen t ,
30. r t 5 cos t, 4 sen t , t
En los ejercicios 31 a 40, hallar la curvatura K de la curva.
31. rt 4 cos 2t i 4 sen sin 2t j
32. rt 2 cos t i sin sent j
33. rt a cos ti a sin sent j
34. rt a cos t i b sin sent j
35. rt at sin sent, a1 cos t
36. rt cos t t sen sin t, sin sent t cos t
37. rt t i t 38. rt 2t 2 i tj 1 2 j t2 2 t2 k
2 k
39. rt 4t i 3 cos t j 3 sin sent k
40. r t e 2t i e 2t cos t j e 2t sen tk
En los ejercicios 41 a 44, encontrar la curvatura K de la curva en
el punto P.
41.
42.
43.
En los ejercicios 45 a 54, hallar la curvatura y el radio de curvatura
de la curva plana en el valor dado de x.
45. y 3x 2, x a 46. y mx b,
47. y 2x2 3, x 1 48. y 2x 4 x ,
Redacción En los ejercicios 55 y 56, se dan dos círculos de curvatura
de la gráfica de la función. a) Hallar la ecuación del
círculo menor, y b) escribir un párrafo corto que explique por
qué los círculos tienen radios diferentes.
55. fx sen sin x
56. fx 4x 2 x 2 3
3
2
−2
−3
y
1
t 1
t j,
1
t 2
9 t3 j,
r t 3ti 2t 2 j, P 3, 2
r t e t i 4tj, P 1, 0
t
r t ti t 2 j
3 P 2, 4, 2
4 k,
t
44. r t e t cos ti e t sen tj e t k, P 1, 0, 1
49. y cos 2x, x 2 50. y e 3x ,
( , 1 )
π
2
π
( −
π , − 3
3 )
2
2
x
3
(0, 0)
y
6
4 (3, 3)
−4
−6
2
4
x a
x 1
51. y a 2 x 2 , x 0 52. y 4 16 x 2 , x 0
53. y x 3 , x 2
54. y x n , x 1, n 2
3
x 0
6 8
x