Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1032 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
NOTA En ingeniería y en física, el
momento de inercia de una masa se
usa para hallar el tiempo requerido
para que una masa alcance una velocidad
de rotación dada con respecto a un
eje, como se muestra en la figura
14.60. Cuanto mayor es el momento de
inercia, mayor es la fuerza que hay que
aplicar a la masa para que alcance la
velocidad deseada.
■
Figura 14.60
EXPLORACIÓN
Dibujar el sólido (de densidad uniforme)
limitado o acotado por
z 0 y
z
1
1 x 2 y 2
donde x 2 y 2 ≤ 1. A partir del
dibujo, estimar las coordenadas del
centro de masa del sólido. Ahora
utilizar un sistema algebraico por
computadora y verificar la estimación.
¿Qué se observa?
z
x
y
Centro de masa y momentos de inercia
En el resto de esta sección se analizan dos aplicaciones importantes de las integrales triples
a la ingeniería. Considérese una región sólida Q cuya densidad está dada por la función
de densidad . El centro de masa de una región sólida Q de masa m está dado por
x, y, z, donde
m x, y, z dV
Masa del sólido.
Q
M xx, y, z dV
Primer momento con respecto al plano yz.
yz
Q
M xz yx, y, z dV
Primer momento con respecto al plano xz.
Q
M xy zx, y, z dV
Primer momento con respecto al plano xy.
y
x M yz
m ,
Las cantidades M yz , M xz , y M xy se conocen como los primeros momentos de la región Q
con respecto a los planos yz, xz y xy, respectivamente.
Los primeros momentos de las regiones sólidas se toman con respecto a un plano,
mientras que los segundos momentos de los sólidos se toman con respecto a una recta.
Los segundos momentos (o momentos de inercia) con respecto a los ejes x, y y z son los
siguientes.
y 2 z 2 x, y, z dV Momento de inercia con respecto al eje x.
I x
Q
I y Q
I z
Q
Momento de inercia con respecto al eje y.
Momento de inercia con respecto al eje z.
En problemas que requieren el cálculo de los tres momentos, puede ahorrarse una cantidad
considerable de trabajo empleando la propiedad aditiva de las integrales triples y escribiendo
I x I xz I xy ,
donde I xy , I xz , e I yz son
z 2x, y, z dV
I xy
Q
I xz
Q
I yz
x 2 z 2 x, y, z dV
x 2 y 2 x, y, z dV
Q
Q
y M xz
m ,
I y I yz I xy ,
y 2x, y, z dV
x 2x, y, z dV
z M xy
m .
e
I z I yz I xz