Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1053714_1401.qxp 10/27/08 1:27 PM Page 988
988 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
3
2
1
−1
a)
3
2
1
−1
y
y
b)
Figura 14.6
988 Chapter 14
Con frecuencia, uno de los órdenes de integración hace que un problema de integración
resulte más sencillo de como resulta con el otro orden de integración. Por ejemplo,
hacer de nuevo el ejemplo 4 con el orden dx dy; sorprenderá ver que la tarea es formidable.
Sin embargo, si se llega al resultado, se verá que la respuesta es la misma. En otras
Multiple Integration
palabras, el orden de integración afecta la complejidad de la integración, pero no el valor
de la integral.
One order of integration will often produce a simpler integration problem than the
other order. For instance, try reworking Example 4 with the order dx dy—you may be
EJEMPLO 5 surprised Comparación to see that de the diferentes task is formidable. órdenes However, de integración
if you succeed, you will see that
the answer is the same. In other words, the order of integration affects the ease of
integration, but not the value of the integral.
Dibujar la región cuya área está representada por la integral
R: 0 ≤ y ≤ 2
2 4
y EXAMPLE 5 Comparing Different Orders of Integration
0
2 ≤ x ≤ 4
dx dy.
y 2
x = y2 (4, 2)
Sketch the region whose area is represented by the integral
y
Después hallar otra 2 4 iterada que utilice el orden dy dx para representar la misma área
R: 0 ≤ y ≤ 2 y mostrar que ambas
integrales dx dy. dan el mismo valor.
y 0
2 ∆y
≤ x ≤ 4
3
y 2
Solución De Then acuerdo find con another los límites iterated de integral integración using dados, the order se sabe dy dxque
to represent the same area and
x = y2 x (4, 2)
1 2 2 3 4
show that both integrals yield the same value.
y 2 2 4
x 4
Límites interiores de integración.
Área = dx dy
Solution From the given limits of integration, you know that
1
∆y
0 y 2
lo cual significa que y 2 la
región x 4 R está limitada o acotada a Inner la izquierda limits of integration por la parábola
x xy 2 y a la derecha por la recta x 4. Además, como
1 2 3 4
which means that the region R is bounded on the left by the parabola x y 2 and on
R: −10 ≤ x ≤ 4
2 4 0 y 2the right by the line x 4. Furthermore, Límites exteriores because de integración.
Area = dx dy
0 ≤ y ≤ x
0 y 2
0 Outer limits of integration
se sabe que R está limitada
y 2
o acotada inferiormente por el eje x, como se muestra en la
(a)
y = x
(4, 2) figura 14.6a. El you valor know de that esta Rintegral is bounded es below by the x-axis, as shown in Figure 14.6(a). The value
y
2 4 of this 2integral is
4
R: 0 ≤ x ≤ 4
dx dy 2 4
2 4 Integrar con respecto a x.
0 ≤ y ≤ x
3
0 x
y
dx dy Integrate with respect to x.
0
2 0
dy
y x
y 2 0
dy
y
2
2
y = x
(4, 2)
2
2 2
x
1 2 ∆x 3 4
4 y 2 dy
0
4 y 2 dy
4 x
0
Área =
1 dy dx
y3
4y y3 Integrar con respecto a y.
3 2 16
0 0
34y .
16 Integrate with respect to y.
3 2 0
3 .
0
x
1 2 ∆x 3 4Para cambiar el To orden change de integración the order of a integration dy dx, se coloca to dy dx, un rectángulo place a vertical vertical rectangle en la región, in the region, as
−1
4 x como se muestra shown en la in figura Figure 14.6b. 14.6(b). Con From esto this se puede you can ver see que that los the límites constant o cotas bounds cons-tantes 0 x serve 4 sirven as the como outer límites limits exteriores of integration. de integración. By solving Despejando for y in the y equation de la ecua-
x y 2 , you
x 4
Area = dy dx
0 0
(b)
ción x y 2 , se can concluye conclude que that los límites the inner interiores bounds son are 0 y x. So, Por the tanto, area el área of the deregion can
Figure 14.6
la región también also se be puede represented representar by por
4
00
x
dy dx.
4
00
By evaluating this integral, you can see that it has the same value as the original
Evaluando esta integral. integral, se ve que tiene el mismo valor que la integral original.
4 x
4
x
4 x
4
x
dy dx Integrar con respecto a y.
0
y
0
0
dy dx Integrate with respect to y.
0 dx
y
0
0
dx
0
0
4
4
x dx
x dx
0
x
2 3 x32 4 0
dy dx.
0
16
2 3 4 x32 0
3
16 Integrate with respect to x.
Integrar 3 con respecto a x.
The icon indicates that you will find a CAS Investigation on the book’s website. The CAS
Investigation is a collaborative exploration of this example using the computer algebra systems
Maple and Mathematica.
■