Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.3 Derivadas parciales 913
EJEMPLO 7
Hallar derivadas parciales de segundo orden
fx, y 3xy 2 2y 5x 2 y 2 , y deter-
Hallar las derivadas parciales de segundo orden de
minar el valor de f xy 1, 2.
Solución Empezar por hallar las derivadas parciales de primer orden con respecto a x y y.
f x x, y 3y 2 10xy 2
y
f y x, y 6xy 2 10x 2 y
Después, se deriva cada una de éstas con respecto a x y con respecto a y.
f xx x, y 10y 2
f xy x, y 6y 20xy
y
y
f yy x, y 6x 10x 2
f yx x, y 6y 20xy
En 1, 2, el valor de es
f xy
f xy 1, 2 12 40 28.
NOTA En el ejemplo 7 las dos derivadas parciales mixtas son iguales. En el teorema 13.3 se dan
condiciones suficientes para que esto ocurra.
■
TEOREMA 13.3
IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS
Si f es una función de x y y tal que f xy y f yx son continuas en un disco abierto R,
entonces, para todo x, y en R,
f xy x, y f yx x, y.
El teorema 13.3 también se aplica a una función f de tres o más variables siempre y
cuando las derivadas parciales de segundo orden sean continuas. Por ejemplo, si
w fx, y, z y todas sus derivadas parciales de segundo orden son continuas en una
región abierta R, entonces en todo punto en R el orden de derivación para obtener las
derivadas parciales mixtas de segundo orden es irrelevante. Si las derivadas parciales de
tercer orden de f también son continuas, el orden de derivación para obtener las derivadas
parciales mixtas de tercer orden es irrelevante.
EJEMPLO 8
Hallar derivadas parciales de orden superior
Mostrar que f xz f zx y f xzz f zxz f zzx para la función dada por
fx, y, z ye x x ln z.
Solución
Derivadas parciales de primer orden:
f x x, y, z ye x ln z,
f z x, y, z x z
Derivadas parciales de segundo orden (nótese que las dos primeras son iguales):
f xzx, y, z 1 z ,
f zx x, y, z 1 z ,
f zz x, y, z x
z 2
Derivadas parciales de tercer orden (nótese que las tres son iguales):
f xzzx, y, z 1 z 2,
f zxz x, y, z 1 z 2,
f zzx x, y, z 1 z 2