Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

970 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
13.10 Multiplicadores de Lagrange
■ Entender el método de los multiplicadores de Lagrange.
■ Utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización con
restricciones.
■ Utilizar el método de multiplicadores de Lagrange con dos restricciones.
JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (1736-1813)
El método de los multiplicadores de
Lagrange debe su nombre al matemático
francés Joseph Louis Lagrange. Lagrange
presentó el método por primera vez en su
famoso trabajo sobre mecánica, escrito
cuando tenía apenas 19 años.
Multiplicadores de Lagrange
Muchos problemas de optimización tienen restricciones, o ligaduras, para los valores que
pueden usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones tienden a complicar los problemas
de optimización porque la solución óptima puede presentarse en un punto frontera
del dominio. En esta sección se estudia una ingeniosa técnica para resolver tales problemas.
Es el método de los multiplicadores de Lagrange.
Para ver cómo funciona esta técnica, supóngase que se quiere hallar el rectángulo de
área máxima que puede inscribirse en la elipse dada por
x 2
3 y2
2 4 1. 2
Sea (x, y) el vértice del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra
en la figura 13.78. Como el rectángulo tiene lados de longitudes 2x y 2y, su área está
dada por
f x, y 4xy.
Función objetivo.
Se quieren hallar x y y tales que f x, y es un máximo. La elección de (x, y) está restringida
a puntos del primer cuadrante que están en la elipse
x 2
Restricción.
3 y2
2 4 1. 2
Ahora, considérese la ecuación restrictiva o de ligadura como una curva de nivel fija de
gx, y x2
3 y2
2 4 2.
Las curvas de nivel de f representan una familia de hipérbolas f x, y 4xy k. En esta
familia, las curvas de nivel que satisfacen la restricción dada corresponden a hipérbolas que
cortan a la elipse. Es más, para maximizar f x, y, se quiere hallar la hipérbola que justo satisfaga
la restricción. La curva de nivel que hace esto es la que es tangente a la elipse, como
se muestra en la figura 13.79.
Elipse:
x2 y2 3 2 +
4 2 = 1
y
(x, y)
5
y
Curvas de nivel f:
4xy = k
−4
−2
3
2
1
−1
−1
−2
−3
1
2 4
x
−2
3
2
1
−1
−1
−2
−3
1
2 4 5 6
k = 72
k = 56
k = 40
k = 24
x
Función objetivo:
Figura 13.78
fx, y 4xy
Restricción: gx, y x2
3 y2
2 4 1 2
Figura 13.79