Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

972 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
Problemas de optimización con restricciones o ligaduras
En el problema presentado al principio de esta sección, se quería maximizar el área de un
rectángulo inscrito en una elipse. El ejemplo 1 muestra cómo usar los multiplicadores de
Lagrange para resolver este problema.
EJEMPLO 1
Multiplicador de Lagrange con una restricción o ligadura
Hallar el valor máximo de f x, y 4xy donde x > 0 y y > 0, sujeto a la restricción
x 2 3 2 y 2 4 2 1.
NOTA El ejemplo 1 también puede
resolverse utilizando las técnicas
aprendidas en el capítulo 3. Para ver
cómo se hace esto, calcular el valor
máximo de A 4xy dado que
x 2
3 2 y2
4 2 1.
Para empezar, de la segunda ecuación
se despeja y y se obtiene
y 4 3 9 x2 .
Después se sustituye este valor en la
primera ecuación para obtener
A 4x 4 3 9 x2 .
Por último, se usan las técnicas del
capítulo 3 para maximizar A.
■
Solución
Para comenzar, sea
gx, y x2
3 2 y2
4 2 1.
Igualando f x, y 4yi 4xj y gx, y 2x9i y8j, se puede obtener el
sistema de ecuaciones siguiente.
4y 2 9x
f x x, y g x x, y.
4x 1 y f y x, y g y x, y.
8
x 2
Restricción.
3 y2
2 4 1 2
De la primera ecuación, se obtiene
4x 1 8 18y
x y
Sustituyendo en la tercera ecuación x 2 por este valor se tiene
1
9 9 16 y2 1
16 y2 1
que sustituido en la segunda ecuación da
Así, y ±22. Como se requiere que y > 0, se elige el valor positivo y se halla que
x 2 9
16 y2
9 9 16 8 2
x 3
2 .
18yx,
x 2 9
16 y2 .
y 2 8.
Por tanto, el valor máximo de f es
f
32 , 2 2 4xy 4 3
2 2 2 24.
Nótese que el expresar la restricción como
x2
gx, y o gx, y x2
3 y2
3 y2
2 4 1 0
2 4 1 2 2
no afecta la solución, la constante se elimina cuando se calcula g.