Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

910 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables
EJEMPLO 3
Hallar las pendientes de una superficie
en las direcciones de x y de y
Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por
en el punto
Solución
fx, y x2
2 y2 25
8
1 2 , 1, 2.
f x x, y x
Las derivadas parciales de f con respecto a x y a y son
Por tanto, en la dirección de x, la pendiente es
y
f y x, y 2y.
Derivadas parciales.
f x 1 2 , 1 1 2
Figura 13.31a.
y en la dirección de y, la pendiente es
f y 1 2 , 1 2.
Figura 13.31b.
4
z
Superficie:
f(x, y) = −
x 2
− y 2 +
25
2 8
4
z
( )
1
, 1, 2
2
( )
1 , 1, 2
2
3
x
y
2
Pendiente en la dirección de x:
f
1
x , 1 = −
1
( 2 ) 2
3
x
2
y
Pendiente en la dirección y:
( )
f
1
y , 1 = −2
2
a)
Figura 13.31
b)
Superficie:
f(x, y) = 1 − (x − 1) 2 − (y − 2) 2
z
f x (x, y)
(1, 2, 1)
1
f y (x, y)
1
2
3
4
x
Figura 13.32
y
EJEMPLO 4
Hallar las pendientes de una superficie
en las direcciones de x y de y
Hallar las pendientes de la superficie dada por
en el punto (1, 2, 1), en las direcciones de x y de y.
Solución
fx, y 1 x 1 2 y 2 2
Las derivadas parciales de f con respecto a x y y son
f x x, y 2x 1
y
Derivadas parciales.
Por tanto, en el punto (1, 2, 1), las pendientes en las direcciones de x y de y son
f x 1, 1 2 211 1
0 y f y 1, 1 2 222
2 0
como se muestra en la figura 13.32.
f y x, y 2 y 2.