Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler 751
TEOREMA 10.17
ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS
La gráfica de una ecuación polar de la forma
r
ed
1 ± e cos
o
ed
r
1 ± e sen sin
es una cónica, donde e > 0 es la excentricidad y es la distancia entre el foco, en
el polo, y la directriz correspondiente.
d
P = (r, θ)
r
θ
d
F = (0, 0)
Q
0
DEMOSTRACIÓN La siguiente es una demostración de r ed1 e cos con d > 0.
En la figura 10.59, considérese una directriz vertical que se encuentra d unidades a la
derecha del foco F (0, 0). Si P (r, ) es un punto en la gráfica de r
ed(1 e cos ), se puede demostrar que la distancia entre P y la directriz es
PQ d x d r cos r1 e cos
e
r cos r e .
Figura 10.59
Directriz
Como la distancia entre y el polo es simplemente el radio entre es
PFPQ r re P
PF e r , PF PQ
e y, de acuerdo con el teorema 10.16, la gráfica de la ecuación
debe ser una cónica. Las demostraciones de los otros casos son similares.
Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el teorema 10.17 se pueden clasificar
como sigue, siendo d > 0.
a) Directriz horizontal arriba del polo:
b) Directriz horizontal abajo del polo:
c) Directriz vertical a la derecha del polo:
ed
d) Directriz vertical a la izquierda del polo: r
1 e cos
La figura 10.60 ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola.
r
r
r
ed
1 e sin
ed
1 e sin
ed
1 e cos
y
y
y
y
Directriz
y = d
Directriz
x = d
Directriz
x = −d
x
x
x
x
Directriz
y = − d
r = ed
1 + e sen θ
r = ed
1 − e sen θ
r = ed
1 + e cos θ
r = ed
1 − e cos θ
a)
b) c) d)
Los cuatro tipos de ecuaciones polares para una parábola
Figura 10.60