Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

854 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
Movimiento de proyectiles
y v 0 = velocidad inicial
v(t 1 )
v 0 = v(0)
a
a
a
Altura inicial
Figura 12.17
v(t 2 )
x
Ahora ya se dispone de lo necesario para deducir las ecuaciones paramétricas de la trayectoria
de un proyectil. Supóngase que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre un
proyectil después de su lanzamiento. Por tanto, el movimiento ocurre en un plano vertical
que puede representarse por el sistema de coordenadas xy con el origen correspondiente a
un punto sobre la superficie de la Tierra (figura 12.17). Para un proyectil de masa m, la
fuerza gravitatoria es
F mgj
Fuerza gravitatoria.
donde la constante gravitatoria es g 32 pies por segundo al cuadrado, o 9.81 metros por
segundo al cuadrado. Por la segunda ley del movimiento de Newton, esta misma fuerza
produce una aceleración a at, y satisface la ecuación F ma. Por consiguiente, la
aceleración del proyectil está dada por ma mgj, lo que implica que
a gj.
Aceleración del proyectil.
EJEMPLO 5
Obtención de la función de posición de un proyectil
Un proyectil de masa m se lanza desde una posición inicial
Hallar su vector posición en función del tiempo.
con una velocidad inicial v 0 .
Solución Se parte del vector aceleración at gj y se integra dos veces.
r 0
vt at dt g j dt gt j C 1
rt vt dt gtj C 1 dt 1 2 gt 2 j C 1 t C 2
Se puede usar el hecho de que v0 v 0 y r0 r 0 para hallar los vectores constantes C 1
y C 2 . Haciendo esto se obtiene C 1 v 0 y C 2 r 0 . Por consiguiente, el vector posición es
rt 1 2 gt 2 j t v 0 r 0 .
Vector posición.
⎜⎜ v 0 ⎜⎜ = v 0 = rapidez inicial
⎜⎜r 0 ⎜⎜ = h = altura inicial
y
v 0
yj
θ
xi
h r 0
x = ⎜⎜v 0 ⎜⎜cos
θ
y = ⎜⎜v 0 ⎜⎜ sen θ
Figura 12.18
x
En muchos problemas sobre proyectiles, los vectores constantes r 0 y v 0 no se dan
explícitamente. A menudo se dan la altura inicial h, la rapidez inicial v 0
y el ángulo con
que el proyectil es lanzado, como se muestra en la figura 12.18. De la altura dada, se puede
deducir que r 0 hj. Como la rapidez da la magnitud de la velocidad inicial, se sigue que
v 0 v 0 y se puede escribir
v 0 x i y j
v 0 cos i v 0 sen sin j
v 0 cos i v 0 sin senj.
Por tanto, el vector posición puede expresarse en la forma
rt 1 Vector posición.
2 gt 2 j t v 0 r 0
1 2 gt 2 j tv 0 cos i tv 0
sen sin j hj
v 0 cos ti h v 0 sin t 1 2 gt 2 j.
sen