Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

852 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
v(0)
−3
r(t) = (t 2 − 4)i + tj
a(0)
−2
4
3
1
−1 1
−1
−3
−4
y
2
a(2)
3
x = y 2 − 4
En todo punto en la curva, el vector
aceleración apunta a la derecha
Figura 12.13
y
Sol
a
4
v(2)
En todo punto de la órbita del cometa, el
vector aceleración apunta hacia el Sol
Figura 12.14
x
x
EJEMPLO 2
Dibujo de los vectores velocidad
y aceleración en el plano
Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva plana dada por
rt t 2 4i t j
Vector posición.
y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 0 y t 2.
Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x t 2 4 y y t, se puede determinar
que la curva es una parábola dada por x y 2 4, como se muestra en la figura 12.13.
El vector velocidad (en cualquier instante) es
vt rt 2t i j
y el vector aceleración (en cualquier instante) es
at rt 2i.
Vector velocidad.
Vector aceleración.
Cuando t 0, los vectores velocidad y aceleración están dados por
v(0) 2(0)i j j y a(0) 2i.
Cuando t 2, los vectores velocidad y aceleración están dados por
v(2) 2(2)i j 4i j y a(2) 2i.
Si el objeto se mueve por la trayectoria mostrada en la figura 12.13, nótese que el vector
aceleración es constante (tiene una magnitud de 2 y apunta hacia la derecha). Esto
implica que la rapidez del objeto va decreciendo conforme el objeto se mueve hacia el vértice
de la parábola, y la rapidez va creciendo conforme el objeto se aleja del vértice de la
parábola.
Este tipo de movimiento no es el característico de cometas que describen trayectorias
parabólicas en nuestro sistema solar. En estos cometas, el vector aceleración apunta siempre
hacia el origen (el Sol), lo que implica que la rapidez del cometa aumenta a medida
que se aproxima al vértice de su trayectoria y disminuye cuando se aleja del vértice. (Ver
figura 12.14.)
EJEMPLO 3
Dibujo de los vectores velocidad
y aceleración en el espacio
Dibujar la trayectoria de un objeto que se mueve a lo largo de la curva en el espacio C dada
por
Curva:
r(t) = ti + t 3 j + 3tk, t ≥ 0
rt t i t 3 j 3tk, t ≥ 0 Vector posición.
y hallar los vectores velocidad y aceleración cuando t 1.
z
6
(1, 1, 3)
4
2
v(1)
a(1)
C
10
y
Solución Utilizando las ecuaciones paramétricas x t y y t 3 , se puede determinar
que la trayectoria del objeto se encuentra en el cilindro cúbico dado por y x 3 . Como
z 3t, el objeto parte de 0, 0, 0 y se mueve hacia arriba a medida que t aumenta, como
se muestra en la figura 12.15. Como rt t i t 3 j 3tk, se tiene
vt rt i 3t 2 j 3k Vector velocidad.
y
2
4
x
Figura 12.15
at rt 6tj.
Vector aceleración.
Cuando t 1, los vectores velocidad y aceleración están dados por
v(1) r(1) i 3j 3k y a(1) r(1) 6j .