Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 13.8 Extremos de funciones de dos variables 955
Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que
el gradiente de f es 0 o los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista.
Tales puntos se llaman puntos críticos de f.
DEFINICIÓN DE LOS PUNTOS CRÍTICOS
The Granger Collection
KARL WEIERSTRASS (1815-1897)
Aunque el teorema del valor extremo había
sido ya utilizado antes por los matemáticos,
el primero en proporcionar una
demostración rigurosa fue el matemático
alemán Karl Weierstrass. Weierstrass también
proporcionó justificaciones rigurosas
para muchos otros resultados matemáticos
ya de uso común. A él se deben muchos de
los fundamentos lógicos sobre los cuales se
basa el cálculo moderno.
Sea f definida en una región abierta R que contiene x 0 , y 0 . El punto x 0 , y 0 es un
punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:
1. f x x 0 , y 0 0 y f y x 0 , y 0 0
2. f x x 0 , y 0 o f y x 0 , y 0 no existe.
Recuérdese del teorema 13.11 que si f es diferenciable y
f x 0 , y 0 f x (x 0 , y 0 i f y x 0 , y 0 j
0i 0j
entonces toda derivada direccional en x 0 , y 0 debe ser 0. Esto implica que la función tiene
un plano tangente horizontal al punto x 0 , y 0 , como se muestra en la figura 13.66. Al parecer,
tal punto es una localización probable para un extremo relativo. Esto es ratificado por
el teorema 13.16.
z
Superficie:
z = f(x, y)
z
Superficie:
z = f(x, y)
(x 0 , y 0 , z 0 )
(x 0 , y 0 , z 0 )
x
(x 0 , y 0 )
y
x
(x 0 , y 0 )
y
Máximo relativo
Figura 13.66
Mínimo relativo
TEOREMA 13.16
LOS EXTREMOS RELATIVOS SE PRESENTAN SÓLO EN PUNTOS CRÍTICOS
Si f tiene un extremo relativo en x 0 , y 0 en una región abierta R, entonces x 0 , y 0 es
un punto crítico de f.
EXPLORACIÓN
Utilizar una herramienta de graficación para representar
z
z x 3 3xy y 3
3
usando las cotas 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3, y
3 ≤ z ≤ 3. Esta vista parece sugerir que la superficie
tuviera un mínimo absoluto. Pero,
¿lo tiene?
3
x
3
y
−3