Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

804 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
Trazado de planos en el espacio
Si un plano en el espacio corta uno de los planos coordenados, a la recta de intersección
se le llama la traza del plano dado en el plano coordenado. Para dibujar un plano en el
espacio, es útil hallar sus puntos de intersección con los ejes coordenados y sus trazas en
los planos coordenados. Por ejemplo, considerar el plano dado por
3x 2y 4z 12.
Ecuación del plano.
Se puede hallar la traza xy, haciendo z 0 y dibujando la recta
3x 2y 12
Traza xy-
en el plano xy. Esta recta corta el eje x en (4, 0, 0) y el eje y en (0, 6, 0). En la figura 11.49
se continúa con este proceso encontrando la traza yz y la traza xz, y sombreando la región
triangular que se encuentra en el primer octante.
z
z
z
(0, 0, 3)
(0, 0, 3)
(0, 6, 0)
y
(0, 6, 0)
y
(0, 6, 0)
y
(4, 0, 0)
(4, 0, 0)
(4, 0, 0)
x
traza xy z 0:
traza yz x 0:
3x 2y 12
2y 4z 12
Trazas del plano 3x 2y 4z 12
Figura 11.49
x
x
traza xz y 0:
3x 4z 12
x
1
( 2 , 0, 0 )
z
(0, 0, 1)
Plano: 2x + z = 1
El plano 2x z 1 es paralelo al eje y
Figura 11.50
y
Si en una ecuación de un plano está ausente una variable, como en la ecuación
2x z 1, el plano debe ser paralelo al eje correspondiente a la variable ausente, como
se muestra en la figura 11.50. Si en la ecuación de un plano faltan dos variables, éste es
paralelo al plano coordenado correspondiente a las variables ausentes, como se muestra
en la figura 11.51.
x
z
d
( −
a , 0, 0 )
y
x
z
( )
0, −
d
, 0
b
y
x
z
d
( 0, 0, − c )
El plano ax d 0 es El plano by d 0 es
El plano cz d 0 es
paralelo al plano yz
paralelo al plano xz
paralelo al plano xy
Figura 11.51
y