Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 14.2 14.2
14.2 Double Double
Integrales Integrals Integrals and Volume 1001
dobles and y Volume volumen 1001 1001
In In
En
Exercises Exercises
los ejercicios
13–20, 13–20,
13
set set
a
up up
20,
integrals integrals
dar una
for for
integral
both both orders orders
para cada
of of integration, integration,
orden de
25. 25.
25.
26. 26.
and use the more convenient order to evaluate the integral over
26.
and
integración
use the more
y utilizar
convenient
el orden
order
más
to
conveniente
evaluate the
para
integral
evaluar
over
the region
la 2x 3y 4z 12
zz
R.
2x 2x + 3y 3y + 4z 4z = 12 12
the
integral
region
en
R.
z
la región R.
zz
x x + + y y + + z z = = 22
2
3
2
13.
Rxy dA
3
13.
3
Rxy Rxy dA
R: rectangle with vertices 0, 0, 0, 5, 3, 5, 3, 0
R: rectangle rectángulo with con vertices vértices 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 5, 3, 3, 5, 5, 3, 3, 0 0
14.
y
y
14.
Rsin x sin y dA
Rsin 4 yy
y
Rsin sen
x sen
sin y dA
44
22
22
R: rectangle with vertices , 0, , 0, , 2, , 2
66
R: rectangle rectángulo with con vertices vértices ,
15.
y
, 0, 0, , , 0, 0, , , 2, 2, , , 2 2 x
x
27. 28.
15. R x 2 y dA 2 27.
27.
z
28.
28.
z
R y
x 2 y dA 2 z
z
z z = 1 − xy
z
R: trapezoid bounded by y x, y 2x, x 1, x 2
triángulo acotado por y 2x, x 1, x 2
z = 1 − xy
z = 4 −
z = 4 − y 2 y
R: trapezoid bounded by y x, y 2x, x 1, x 2
2
z = 1 − xy
4
4
16.
Rxe y 4 z = 4 − y 2
dA
1
16. Rxe 1
3
Rxe y dA
1
3
3
R: triangle bounded by
x, 0,
2
R: triangle triángulo bounded acotado by por y y 4 4 x, x, y y 0,
0, x x 0
0
2
2
17. 17.
R2y dA
1
R2y dA
y 1
y
región
region
acotada
bounded
por
by y 4 x 1
1
y = x y = 1
y
2 2
18.
2 1
1
1
R:
, y 4 x
y = x 1 y
y
x
y = 1
2 1 2
1 x dA x y = x
R y
R:
region bounded by y 4 x 1
1
y = x 2 y = x y = 2
y = 1
y
2 2
18. R 2 , y 4 x
y
1
1 x dA 2 y = x
y
y
=
=
2
2
29. Integral impropia 30. Integral impropia
R:
R:
region región
region bounded acotada
bounded
por by by
yy 0, 0, yy x, x,
x, xx 44
29. 29. Improper Improper integral integral 30. Improper z integral
1 30. Improper integral
19. Rx dA
z
z e−(x + y)/2
z =
=
19. Rx Rx dA
z = e−(x + y)/2
z = (x + 1) 2 1
(y + 1) 2
z
(x + 1)
el sector sector of circular a circle en in el the primer first quadrant cuadrante bounded acotado by
2 (y + 1)
R:
2
1 z e−(x + y)/2
zz =
1
=
por
z (x + 1) 1
sector of a circle in the first quadrant bounded by
2 (y + 1)
R:
2
y 25 x 2 z
1
y 25 25 x 2 , , 3x 3x 4y 4y 0, 0, y y 0
0
1 0 ≤ x < ∞
1
x 20. Rx 2 y 2 0 ≤ y < dA
y
0 ≤ y < ∞ 2 2
Rx 1 0 ≤ x < ∞
20. Rx 2 y 2 dA
0 ≤ y < ∞
y
2 2 y
R: semicírculo semicircle bounded acotado por by
4 x
y 4 x 2 2 2
y
R:
semicircle bounded by y 4 x 2 , y, y 0
0
2
0 ≤ x < ∞
2
y
2 y
0 ≤ y x < 2
0 ≤ x < ∞
In Exercises 21–30, use a double integral to find the volume of 2
0 ≤ y < ∞
In En Exercises los ejercicios 21–30, a use 30, a utilizar double una integral integral to find doble the para volume hallar of x2
0 ≤ y < ∞
the the indicated solid.
x
el volumen indicated del solid. sólido indicado.
x
21. 22.
z
21.
z
z = y En In Exercises los ejercicios 31 31 and y 32, utilizar use a computer un sistema algebraico system por compu-
to find
22.
z
z
z = y CAS
CAS In Exercises 31 and 32, use a computer algebra system to find
2
2
6
6 z = 6 − 2y
z = 6 − 2y
tadora the volume y hallar of the el volumen solid. del sólido.
1
the volume of the solid.
1
32.
z
31. z
32.
z
31. z
32.
z
1
1
y
z = 8 − x 2 − y 2 x 2 2 + z 2 2 = 1
2 2
4
2 z = 8 − x
3
2 − y x 2 + z 2 = 1
2
y
4
2
1
3
4
1
4
x
0 ≤ x ≤ 4
y
0 ≤ 2
0 x
≤ ≤
y 4
≤ y
2
4
2
0 ≤ y ≤ 2
0 ≤ x ≤ 4
4
0 ≤
0 x
≤ ≤
y 4
≤ 2
11
x
0 ≤ y ≤ 2
3 y
1
x
3
3 y
11
x
23. z
24.
z
3
1
x y
23.
z
24.
z
x
x = 1
y
y
=
=
x
x y
4
z = 4
4
x = 1
4
z = 4 4
z
z =
= 4
4 −
− x
x −
− y
y
3
y = x
En In Exercises los ejercicios 33–40, set a 40, up dar and una evaluate integral a double doble integral para hallar to findel
3
y = x
In Exercises 33–40, set up and evaluate a double integral to find
volumen the volume del of sólido the solid limitado bounded o acotado by the graphs por las of gráficas the equations. de las
2
the volume of the solid bounded by the graphs of the equations.
2
ecuaciones.
1
33. 33. zz xy, xy, zz 0, 0, yy x, x, xx 1, 1,
first first octant octant
1
33. z xy, z 0, y x, x 1, primer octante
34. y 0, z 0, y x, z x, x 0, x 5
1
2
2
y
34.
34.
y
y
0,
0,
z 0,
0,
y
y
x,
x,
z
z
x,
x,
x
x
0,
0,
x
x
5
1
5
2
2 y
y
2
2
y
35. 35. z 0, z x 2 , x 0, x 2, y 0, y 4
2
2
y = x y = 2
x
35. z 0, 0, z x 2 2 ,, x 0, 0, x 2, 2, y 0, 0, y 4
x
x = 2
x y = x y = 2
x = 2
36. 36. x
36. x 22 2 y y 22 2 z z 22 2 r r 22
2