Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

812 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
11.6 Superficies en el espacio
■ Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cilíndricas.
■ Reconocer y dar las ecuaciones de superficies cuádricas.
■ Reconocer y dar las ecuaciones de superficies de revolución.
Superficies cilíndricas
z
Las primeras cinco secciones de este capítulo contienen la parte vectorial de los conocimientos
preliminares necesarios para el estudio del cálculo vectorial y del cálculo en el
espacio. En ésta y en la próxima sección, se estudian superficies en el espacio y sistemas
alternativos de coordenadas para el espacio. Ya se han estudiado dos tipos especiales de
superficies.
x
Cilindro circular recto:
x 2 + y 2 = a 2
y
1. Esferas: x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 r 2 Sección 11.2.
2. Planos: ax by cz d 0
Sección 11.5.
Un tercer tipo de superficie en el espacio son las llamadas superficies cilíndricas, o
simplemente cilindros. Para definir un cilindro, considerar el familiar cilindro circular
recto mostrado en la figura 11.56. Se puede imaginar que este cilindro es generado por una
recta vertical que se mueve alrededor del círculo x 2 y 2 a 2 que se encuentra en el
plano xy. A este círculo se le llama curva directriz (o curva generadora).
Las rectas generatrices son paralelas al eje z
Figura 11.56
DEFINICIÓN DE UN CILINDRO
Sea C una curva en un plano y sea L una recta no paralela a ese plano. Al conjunto
de todas las rectas paralelas a L que cortan a C se le llama un cilindro. A C se le
llama la curva generadora (o la directriz) del cilindro y a las rectas paralelas se
les llama rectas generatrices.
Recta generatriz
que corta a C
z
Curva
directriz C
NOTA Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que C se encuentra en uno de los tres planos
coordenados. En este texto se restringe la discusión a cilindros rectos, es decir, a cilindros cuyas (rectas)
generatrices son perpendiculares al plano coordenado que contiene a C, como se muestra en la
figura 11.57.
■
x
Cilindro: las rectas generatrices cortan a C
y son paralelas a la recta dada
Figura 11.57
y
La ecuación de la (curva) directriz del cilindro circular recto mostrado en la figura
11.56 es
x 2 y 2 a 2 .
Ecuación de la curva directriz en el plano xy.
Para encontrar una ecuación del cilindro, hay que observar que se puede generar cualquiera
de las (rectas) generatrices fijando los valores de x y y y dejando que z tome todos los valores
reales. En este caso, el valor de z es arbitrario y, por consiguiente, no está incluido en
la ecuación. En otras palabras, la ecuación de este cilindro simplemente es la ecuación de
su curva generadora o directriz.
x 2 y 2 a 2
Ecuación de un cilindro en el espacio.
ECUACIÓN DE UN CILINDRO
La ecuación de un cilindro cuyas rectas generatrices son paralelas a uno de los ejes
coordenados contiene sólo las variables correspondientes a los otros dos ejes.