Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

1042 CAPÍTULO 14 Integración múltiple
EJEMPLO 4
Hallar un volumen en coordenadas esféricas
Hoja superior
del cono:
z 2 = x 2 + y 2
z
Hallar el volumen de la región sólida Q limitada o acotada inferiormente por la hoja superior
del cono z 2 x 2 y 2 y superiormente por la esfera x 2 y 2 z 2 9, como se
muestra en la figura 14.70.
3
Solución
En coordenadas esféricas, la ecuación de la esfera es
2
x 2 y 2 z 2 9
3.
−3
−2
3
x
2
Figura 14.70
1
1
2
3
Esfera:
x 2 + y 2 + z 2 = 9
y
La esfera y el cono se cortan cuando
x 2 y 2 z 2 z 2 z 2 9
y, como z cos , se tiene que
Por consiguiente, se puede utilizar el orden de integración
≤ 3, 0 ≤ ≤ 4, y 0 ≤ ≤ 2. El volumen es
2
3 2 1 3 cos
V dV
Q
4
sen
0 0
90
9
2
2
2
9 sin
4
cos 0
0
1 2
4 3
0 0 0
d d
d
4 .
2
sen sin
z
d d d
3 2
2 d 9 2 2 16.563.
d d
d,
donde 0 ≤
EJEMPLO 5
Hallar el centro de masa de una región sólida
Hallar el centro de masa de la región sólida Q de densidad uniforme, limitada o acotada
inferiormente por la hoja superior del cono z 2 x 2 y 2 y superiormente por la esfera
x 2 y 2 z 2 9.
Solución Como la densidad es uniforme, se puede considerar que la densidad en el punto
x, y, z es k. Por la simetría, el centro de masa se encuentra en el eje z, y sólo se necesita
calcular z M xy m, donde m kV 9k 2 2 por el ejemplo 4. Como z cos ,
se sigue que
M xy
Q
Por tanto,
3
kz dV k0
3
k0
k 4
z M xy
m 81k8
9k 2 2
0
3
00
92 2
16
1.920
y el centro de masa es aproximadamente 0, 0, 1.92.
2
4
0 0
2
2
3 sin2 sen 2
2
3
d
cos 2
sen sin
4
0
d k
d d
3
2
0
d d d
3
d 81k
8 .