Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

844 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales
La parametrización de la curva representada por la función vectorial
rt f ti gtj htk
es suave en un intervalo abierto I si f, g, y son continuas en I y rt 0 para todo
valor de t en el intervalo I.
h
EJEMPLO 3
Intervalos en los que una curva es suave
Hallar los intervalos en los que la epicicloide C dada por
−6
t = π
−4
−2
6
4
2
−2
−4
−6
y
t = π 2
r(t) = (5 cos t − cos 5t)i + (5 sen t − sen 5t)j
2
t = π 2 3
t = 0
4
t = 2π
La epicicloide no es suave en los puntos en
los que corta los ejes
Figura 12.10
6
x
rt 5 cos t cos 5ti 5 sen sin t sen sin 5tj, 0 ≤ t ≤ 2
es suave.
Solución
La derivada de r es
rt 5 sen sin t 5 sen sin 5ti 5 cos t 5 cos 5tj.
En el intervalo 0, 2, los únicos valores de t para los cuales
rt 0i 0j
son t 0, 2, , 32, y 2. Por consiguiente, se concluye que C es suave en los intervalos
0,
y
2 , , 3
3
2 , 2
2 , , 2 ,
como se muestra en la figura 12.10.
NOTA En la figura 12.10, nótese que la curva no es suave en los puntos en los que tiene cambios
abruptos de dirección. Tales puntos se llaman cúspides o nodos.
■
La mayoría de las reglas de derivación del capítulo 2 tienen sus análogas para funciones
vectoriales, y varias de ellas se dan en el teorema siguiente. Nótese que el teorema
contiene tres versiones de “reglas del producto”. La propiedad 3 da la derivada del producto
de una función real w y por una función vectorial r, la propiedad 4 da la derivada
del producto escalar de dos funciones vectoriales y la propiedad 5 da la derivada del producto
vectorial de dos funciones vectoriales (en el espacio). Nótese que la propiedad 5 sólo
se aplica a funciones vectoriales tridimensionales, porque el producto vectorial no está
definido para vectores bidimensionales.
TEOREMA 12.2
PROPIEDADES DE LA DERIVADA
Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable de t y c
un escalar.
1. D t cr t cr t
2. D t r t ± u t r t ± u t
3. D t w t r t w t r t w t r t
4. D t r t u t r t u t r t u t
5. D t r t u t r t) u t r t u t
6. D t r w t r w t w t
7. Si r t r t c, entonces r t r t 0.