Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

SECCIÓN 11.6 Superficies en el espacio 813
EJEMPLO 1
Trazado de cilindros
Trazar la superficie representada por cada una de las ecuaciones.
a) z y 2 b) z sen x,
Solución
0 ≤ x ≤ 2
a) La gráfica es un cilindro cuya directriz, z y 2 , es una parábola en el plano yz. Las generatrices
del cilindro son paralelas al eje x, como se muestra en la figura 11.58a.
b) La gráfica es un cilindro generado por la curva del seno en el plano xz. Las generatrices
son paralelas al eje y, como se muestra en la figura 11.58b.
La directriz C está
en el plano yz
z
La directriz C está
en el plano xz
z
1
π
y
y
x
x
Cilindro: z = y 2
Cilindro: z = sen x
a) Las generatrices son paralelas al eje x
Figura 11.58
b) Las generatrices son paralelas al eje y
AYUDA DE ESTUDIO En la tabla de las
páginas 814 y 815 se muestra sólo una
de las varias orientaciones posibles de
cada superficie cuádrica. Si la superficie
está orientada a lo largo de un eje
diferente, su ecuación estándar cambiará
consecuentemente, como se ilustra
en los ejemplos 2 y 3. El hecho de
que los dos tipos de paraboloides tengan
una variable elevada a la primera
potencia puede ser útil al clasificar las
superficies cuádricas. Los otros cuatro
tipos de superficies cuádricas básicas
tienen ecuaciones que son de segundo
grado en las tres variables.
Superficies cuádricas
El cuarto tipo básico de superficies en el espacio son las superficies cuádricas. Éstas son
los análogos tridimensionales de las secciones cónicas.
SUPERFICIES CUÁDRICAS
La ecuación de una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo
grado en tres variables. La forma general de la ecuación es
Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0.
Hay seis tipos básicos de superficies cuádricas: elipsoide, hiperboloide de una
hoja, hiperboloide de dos hojas, cono elíptico, paraboloide elíptico y paraboloide
hiperbólico.
A la intersección de una superficie con un plano se le llama la traza de la superficie
en el plano. Para visualizar una superficie en el espacio, es útil determinar sus trazas en
algunos planos elegidos inteligentemente. Las trazas de las superficies cuádricas son cónicas.
Estas trazas, junto con la forma canónica o estándar de la ecuación de cada superficie
cuádrica, se muestran en la tabla de las páginas 814 y 815.