Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

732 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Transformación (o cambio) de coordenadas
y
Polo θ
(Origen)
r
x
(r, θ)
(x, y)
y
Eje polar
(eje x)
x
Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir
el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en la figura 10.38.
Puesto que x, y se encuentra en un círculo de radio r, se sigue que r 2 x 2 y 2 . Para
r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que
tan y cos x y sin y x ,
r , sen
r .
Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.
Relación entre coordenadas polares y rectangulares
Figura 10.38
TEOREMA 10.10 TRANSFORMACIÓN (O CAMBIO) DE COORDENADAS
Las coordenadas polares r, de un punto están relacionadas con las coordenadas
rectangulares x, y de ese punto como sigue.
1. x r cos 2. tan y x
y
y r sen sin
r 2 x 2 y 2
(r, θ) = (2, π)
2
1
−2 −1
(x, y) = (−2, 0)
−1
−2
θ ( ,
π
3 )
(r, ) =
1
2
6
(x, y) = (
3
,
3
2 2 )
Para pasar de coordenadas polares a
rectangulares, se hace x r cos y
y r sen .
Figura 10.39
x
EJEMPLO 1
a) Dado el punto
Transformación (o cambio) de coordenadas polares
a rectangulares
x r cos 2 cos 2
Por tanto, las coordenadas rectangulares son x, y 2, 0.
b) Dado el punto
x 3 cos
r, 2, ,
r, 3, 6,
6 3 2
Por tanto, las coordenadas rectangulares son
Ver la figura 10.39.
y
y
y r sen sin 2 sen sin 0.
y 3 sen sin
6 3
2 .
x, y 32, 32.
EJEMPLO 2
Transformación (o cambio) de coordenadas
rectangulares a polares
θ ( ,
3π
2 )
(r, ) =
4
(x, y) = (−1, 1)
−2
−1
2
1
y
(r, θ ) = ( 2 , π 2)
(x, y) = (0, 2)
1 2
Para pasar de coordenadas rectangulares a
polares, se toma tan
y
r x 2 y 2 .
Figura 10.40
yx
x
a) Dado el punto del segundo cuadrante x, y 1, 1,
tan y x 1
Como se eligió en el mismo cuadrante que x, y, se debe usar un valor positivo
para r.
r x 2 y 2
1 2 1 2
2
Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es
b) Dado que el punto x, y 0, 2 se encuentra en el eje y positivo, se elige y
r 2, y un conjunto de coordenadas polares es r, 2, 2.
Ver la figura 10.40.
3
4 .
r, 2, 34.
2