Calculo 2 De dos variables_9na Edición - Ron Larson

818 CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio
Superficies de revolución
Sección
circular
(x, y, z)
x
Figura 11.62
z
Curva generadora
o directriz
y = r(z)
rz ()
(0, 0, z)
(0, r(z), z)
y
El quinto tipo especial de superficie que se estudiará se llama superficie de revolución.
En la sección 7.4 se estudió un método para encontrar el área de tales superficies. Ahora
se verá un procedimiento para hallar su ecuación. Considerar la gráfica de la función
radio
y rz
Curva generadora o directriz.
en el plano yz. Si esta gráfica se gira sobre el eje z, forma una superficie de revolución,
como se muestra en la figura 11.62. La traza de la superficie en el plano z z 0 es un
círculo cuyo radio es rz 0 y cuya ecuación es
x 2 y 2 rz 0 2 .
Traza circular en el plano: z z 0 .
Sustituyendo z 0 por z se obtiene una ecuación que es válida para todos los valores de z. De
manera similar, se pueden obtener ecuaciones de superficies de revolución para los otros
dos ejes, y los resultados se resumen como sigue.
SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
Si la gráfica de una función radio r se gira sobre uno de los ejes coordenados,
la ecuación de la superficie de revolución resultante tiene una de las formas siguientes.
1. Girada sobre el eje x: y 2 z 2 rx 2
2. Girada sobre el eje y: x 2 z 2 ry 2
3. Girada sobre el eje z: x 2 y 2 rz 2
EJEMPLO 5
Hallar una ecuación para una superficie de revolución
a) Una ecuación para la superficie de revolución generada al girar la gráfica de
y 1 z
Función radio.
z
Superficie:
x 2 + z 2 = 1 y
9
3
en torno al eje z es
x 2 y 2 rz 2
x 2 y 2
1
z 2 .
Girada en torno al eje z.
Sustituir r(z) para 1/z.
b) Para encontrar una ecuación para la superficie generada al girar la gráfica de
en torno al eje y, se despeja x en términos de y. Así se obtiene
9x 2 y 3
x
y
x 1 3 y 32 r y.
Función radio.
Por tanto, la ecuación para esta superficie es
Curva generadora
o directriz
9x 2 = y 3
x 2 z 2 ry 2
x 2 z 2 1 3 y32 2
x 2 z 2 1 9 y3 .
Girada en torno al eje y.
Sustituir
1
3 y32
para ry.
Ecuación de la superficie.
Figura 11.63
La gráfica se muestra en la figura 11.63.